4. Одномерные дискретные блуждания

Теория марковских процессов позволяет решать ряд содержательных задач. Например, можно находить непосредственно вероятностные характеристики при наличии различных ограничении на процесс, вычислять вероятности выхода процесса за границы и др. Наглядное представление о содержании подобного рода задач, а также о применяемых методах решения для цепи Маркова можно составить на примере одномерных дискретных случайных блужданий.

Рассмотрим одномерные блуждания частицы вдоль оси , представляющие собой однородную цепь Маркова со счетным числом состояний. Пусть через некоторую единицу времени возможны переходы из любого -го состояния в три ближайших состояния: с вероятностями , .

Примем, что в начальный момент времени частица имеет координату (рис. 4.1) и в дискретные моменты времени координата частицы изменяется на случайную величину . Случайная величина может принимать три значения: с вероятностями

В момент времени случайная координата частицы равна

Рис. 4.1. Одномерные дискретные случайные блуждания.

Движение частицы может происходить как по всей прямой , так и на некотором ограниченном отрезке. В последнем случае говорят о границах (экранах), поставленных на пути движения частицы. Обычно различают три вида экранов: поглощающий, отражающий и упругий жесткий. Если частица попадает на поглощающий экран, то на этом ее движение заканчивается. Если частица достигает отражающего экрана, то в следующий момент времени ее координата может только уменьшиться (увеличиться) на единицу. Более общим является упругий жесткий экран. Когда частица достигает упругого жесткого экрана, то в следующий момент времени ее координата может уменьшиться (увеличиться) на единицу с вероятностью , либо остаться неизменной с вероятностью .

Для одномерного случайного блуждания в зависимости от вида экранов можно рассматривать несколько задач [6, 21].