Стохастические интегралы и дифференциалы

По определению [3, 57-60], стохастическими интегралами называются выражения типа

Здесь — непрерывно дифференцируемая детерминированная функция своих аргументов, — диффузионный марковский процесс с коэффициентами сноса и диффузии , непрерывными по обоим аргументам.

Строгая математическая теория стохастических интегралов и дифференциальных уравнений впервые была дана японским математиком К. Ито [59].

В случае (6) стохастическим интегралом в смысле Ито называется предел сходящихся в среднем квадратичном интегральных сумм вида

Напомним, что последовательность случайных величин сходится к случайной величине в среднем квадратичном , если выполняется условие .

Интегральная сумма в (9) строится следующим образом. Отрезок интегрирования разбивается на элементарных подынтервалов, и значение функции берется на левом конце каждого подынтервала. Если функция интегрируема с квадратом, то предел в (9) существует и определение является корректным.

Аналогично определяются в смысле стохастические интегралы (7) и (8):

Пусть процесс имеет стохастический дифференциал, понимаемый в смысле , т. е.

(19.12)

Пусть функция непрерывна и имеет непрерывные производные . Тогда процесс также имеет стохастический дифференциал

(19.13)

Формула (13), полученная , называется формулой . Ее также называют формулой замены переменных в стохастическом интеграле (стохастические дифференциалы, по определению, — сокращенное выражение некоторых интегральных соотношений).

Заметим, что для обычных гладких функций третий член в квадратных скобках формулы (13) отсутствует. Поэтому интегралы в смысле Ито нельзя при замене переменных преобразовывать по обычным правилам, пригодным для гладких функций, нельзя просто интегрировать по частям и т. п.

Пример 1. Требуется вычислить стохастический интеграл в смысле Ито

(19.14)

где — винеровский процесс (14.4), имеющий постоянный коэффициент диффузии .

По определению (9), имеем

Обозначим . Тогда первый сомножитель под знаком суммы можно представить в виде

Следовательно,

Переходя к пределу в среднеквадратичном при , с учетом (14.9), получим

Этот же результат может быть получен при помощи формулы замены переменных (13), которая в частном случае имеет вид

(19.16)

Поэтому, полагая , имеем

Однако для дифференцируемых функций

(19.17)

Стохастический интеграл Ито, определенный для прямого времени, не совпадаете таким же интегралом, определенного для обратного времени (см. ниже).

Р. Л. Стратоновичем было обосновано определение стохастического интеграла в симметризованной форме [57, 60], которое характеризуется определенной симметрией по отношению к прошлому и будущему.

Симметрнзованным стохастическим интегралом типа (6) называется предел сходящихся в среднем квадратичном интегральных сумм вида

(19.18)

В отличие от интеграла Ито, здесь при формировании интегральных сумм берутся значения функции Ф в середине элементарных подынтервалов. Вследствие предполагаемой дифференцируемости функции Ф по t в правой части (17) можно брать

Одним из важнейших свойств симметризованных стохастических интегралов является то, что с ними можно обращаться по обычным правилам, как если бы диффузионные процессы были гладкими функциями (имеются в виду правила замены переменных, интегрирования по частям и т.п.). Покажем справедливость этого утверждения на примере вычисления стохастического интеграла вида

Предварительно установим связь между симметрнзованным стохастическим интегралом (18) и интегралом Ито (9). Вычитая (9) из (18), имеем

(19.19)

Так как предполагается дифференцируемой функцией своих аргументов, ее можно разложить в ряд Тейлора относительно точки . Ограничиваясь учетом первых двух членов разложения, можно написать

Подставив это разложение в (19), имеем

Переходя к пределу в среднеквадратичном, с учетом (14.9), получим

(19.20)

Здесь последний интеграл понимается в обычном смысле.

Из (20) следует, что если функция Ф не зависит от , т. е, , то стохастический интеграл Ито совпадает с симметризованным стохастическим интегралом.

В частном случае , обозначив , из (16) и (20) имеем

(19.21)

Формула (21) соответствует обычному определению дифференциала. Таким образом, рассмотренный частный случай подтверждает, что с снмметризованным стохастическим интегралом можно обращаться по обычным правилам, как если бы реализации диффузионных процессов были гладкими функциями.

Аналогично определяются симметризованные стохастические интегралы (7) и (8). При помощи методики, использованной при выводе (20), можно показать, что они связаны с соответствующими стохастическими интегралами Ито соотношениями

(19.23)

Эти соотношения справедливы независимо от того, связаны ли процессы и формулой (3), где стохастические интегралы понимаются в симметризованном смысле, или формулой (12), где стохастические интегралы понимаются в смысле Ито; - коэффициент диффузии случайного процесса .

Определения стохастических интегралов Ито и Стратоновича можно обобщить, если при формировании соответствующих интегральных сумм использовать произвольную точку элементарного подынтервала [58,61]. Например, для интеграла (7) можно написать

Здесь обозначает, в какой точке подынтервала берется значение функции Ф при формировании интегральной суммы. Очевидно, что при определение (24) соответствует определению (справедлива формальная запись ), а при оно соответствует определению Стратоновича .

Соответственно обобщаются формулы (22), (23):

где .

Вне зависимости от способа определения стохастических интегралов (т. е. для любых ) имеют место равенства

Аналогично определяются стохастические интегралы для многомерных процессов. Пусть - -мерный диффузионный процесс с матрицей диффузии (см. с. 191), а — непрерывно дифференцируемая детерминированная функция своих аргументов. Тогда по аналогии с (24) можно написать

(19.29)

Точно так же определяются многомерные аналогии стохастических интегралов (6), (8) и выводятся формулы связи между стохастическими интегралами, определенными для различных . Например, вместо (25) будем иметь