Главная > Марковские процессы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

17. Процессы с кусочно-линейными коэффициентами сноса

Рассмотрим процессы, которые описываются нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями вида

где — кусочно-линейная функция (рис. 17.1), —нормальный белый шум.

Рис.17.1 Кусочно-линейные преобразования.

Процесс является марковским (см. § 19), причем коэффициенты сноса и диффузии для такого процесса равны

Поэтому уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (11.12) для плотности вероятности перехода принимает вид

с начальным условием

Обозначим точки излома кривой через (рис. 17.1). Тогда в дополнение к обычному условию нормировки плотность вероятности перехода и поток вероятности

должны быть непрерывны на всем интервале , в том числе и в точках .

Поясним подробнее эти условия на частных примерах. Рассмотрим сначала стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка

с дельтообразным начальным условием вида (4).

Рис.17.2. Кусочно-линейная функция (а) и траектории марковского процесса с кусочно-линейным коэффициентом сноса (б).

Рассматриваемая кусочно-линейная функция изображена на рис. 17.2, а. Заметим, что траектория процесса непрерывна и не делает скачков на границе , хотя характер ее несколько различен: выше и ниже границы (рис. 17.2, б). Вид траектории также зависит от начального значения . Это особенно наглядно видно в отсутствие шума . Тогда

Соответствующие траектории изображены на рис. 17.2, б пунктиром.

При наличии случайного воздействия траектории процесса будут случайными функциями времени. Для нас важно то, что эти траектории не возникают и не исчезают на границе . Поэтому плотность вероятности перехода и поток вероятности должны быть непрерывными на границе [51, 52]:

Аналогично обстоит дело и в многомерном случае при выполнении условия диффузионной изотропности (13.4). Пусть, например, задано уравнение Фоккера—Планка— Колмогорова (13.2) для двумерного диффузионно-изотропного процесса :

с начальным условием

В данном случае выражение (13.6) для составляющей потока вдоль оси принимает вид

Рис. 17.3. Характер траектории марковского процесса с разрывным коэффициентом сноса.

Чтобы получить граничное условие при , будем интерпретировать как относительную долю большого числа частиц (первоначально сконцентрированных в точке ), оказавшихся в момент времени t в элементарной площадке расположенной около точки . Траектория частиц показана на рис. 17.3.

Так как частицы вследствие диффузионного характера движения нигде не концентрируются, а также нигде не возникают и не исчезают, то на границе должны выполняться два условия:

1) условие непрерывности плотности вероятности

2) условие неразрывности потока

Здесь — площадка, ограниченная контуром , — элемент контура с нормалью , направленной вовне , — плотность потока в направлении v. Если взять площадку очень узкой вдоль оси как это показано на рис. 17.3, то на границе поток должен быть непрерывным:

Перейдем теперь к фактическому решению простейших уравнений. Укажем, что одномерную стационарную плотность вероятности можно найти сравнительно просто по формуле (12.2) или (12.4). Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для согласно (3) имеет вид

Интегрируя это уравнение один раз по в бесконечных пределах и принимая во внимание условие отсутствия потока вероятности (11.26), получим

Общее решение этого уравнения дается формулой (12.4), т. е.

(17.10)

Однако получить выражение для плотности вероятности перехода в большинстве практически интересных случаев затруднительно. В работе [53] показано, что преобразование Лапласа от плотности вероятности перехода может быть найдено для широкого класса кусочно-линейных коэффициентов сноса. Но обратное преобразование Лапласа удается получить только для некоторых простейших случаев.

Пример 1. Рассмотрим простой пример [54], когда

Воспользовавшись формулой (10), записываем одномерную стационарную плотность вероятности

(17.12)

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для плотности вероятности перехода получаем в результате подстановки выражения (11) в (3):

(17.13)

Если перейти к новым переменным и в соответствии с равенствами

и обозначить плотность вероятности перехода в новых переменных через , то из (13) получим

(17-14)

Решая это уравнение методом разделения переменных, нетрудно убедиться, что в данном случае уравнение (12.11) для собственных функций будет иметь вид

Предполагается, что собственные функции можно дважды дифференцировать, причем и непрерывны в точке . Решением уравнений (15), удовлетворяющим условию непрерывности, являются собственные функции

соответствующие собственным значениям . Поэтому

Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем окончательное выражение плотности вероятности перехода, являющейся решением уравнения (13):

На основании формулы (10.15) находим корреляционную функцию

1
Оглавление
email@scask.ru