21. Воздействие шума на простейшие колебательные системы

Воздействие шума на колебательный контур

Пусть на колебательный контур (рис. 21.1) воздействует абсолютно стабильный гармонический сигнал

и аддитивный нормальный белый шум с нулевым средним значением и функцией корреляции

где — дельта-функция.

Дифференциальное уравнение для тока в индуктивной ветви колебательного контура имеет вид

где точкой сверху обозначены производные по времени. Предположим, что контур обладает большой добротностью и расстройка между частотой и резонансной частотой контура мала, т. е. .

Рис.21.1 Колебательный контур

Считая эти два условия выполненными, решение уравнения (2) можно искать в виде квазигармоннческого колебания. При этом целесообразно перейти от одного дифференциального уравнения второго порядка (2) к двум уравнениям первого порядка, описывающим поведение амплитуды (огибающей) и фазы. При определении понятий амплитуды и фазы колебаний, хотя и близких к гармоническим, но не являющихся строго гармоническими, имеется некоторый произвол [30, 70, 71].

Мы определим амплитуду и фазу колебаний соотношениями

Отсюда имеем

Продифференцировав эти равенства по времени, получим

Если в эти уравнения подставить выражение из (2), а затем воспользоваться равенствами (3), то получим точные дифференциальные уравнения для новых переменных и :

В этих уравнениях возможны дальнейшие упрощения. Во-первых, в колебательном контуре, настроенном на частоту и имеющем малое затухание, сопротивление конденсатора для гармонических составляющих удвоенной частоты очень мало и, следовательно, ток, обусловленный этими составляющими, протекает через конденсатор, а не через индуктивность. Во-вторых, различие между частотой сигнала и резонансной частотой контура мало, т. е. . Пренебрегая гармоническими составляющими удвоенной частоты и полагая , получим

где — начальная расстройка по частоте.

Система уравнений (6) и (7) является основной для последующего анализа. Отметим, что эти уравнения не могут быть решены в квадратурах даже в отсутствие шума . Рассмотрим раздельно несколько частных случаев.

Предположим, что шум отсутствует, т. е. . Полагая в уравнении (7) , находим стационарное значение разности фаз

(21.8)

При этом стационарное значение амплитуды вынужденных колебаний, как следует из (6), будет равно

т.е.

Рассмотрим случай, когда отсутствует гармонический сигнал . Определим огибающую и фазу для этого случая равенствами

Теперь вместо (6) и (7) получим систему уравнений

(21.12)

Перейдем к вычислению статистических характеристик огибающей и фазы. Для этого нужно предварительно вычислить средние значения и корреляционные функции случайных процессов, входящих в правые части уравнений (11) и (12). Обозначим

Если бы в этих выражениях фаза была фиксированной величиной, то средние значения и корреляционные функции случайных процессов и находились бы просто. Так как , то

Опуская гармонические составляющие удвоенной частоты и учитывая (1), получили бы

(21.14)

Однако в действительности эти выражения требуют корректировки. Из уравнения (12) видно, что случайная фаза получается в результате интегрирования белого шума и, следовательно, коррелирована с ним. Так, например, в выражение для приращения фазы за некоторый промежуток входит шум :

(21.15)

При нахождении коэффициентов сноса и диффузии для уравнений (11) и (12) мам потребуются условные средние значения и корреляционные функции процессов и . Вычислим их с учетом корреляционной связи между и [72].

Возьмем достаточно малый интервал времени , чтобы одновременно выполнялись неравенства

(21.16)

Это означает, что в течение времени огибающая и фаза колебаний не успевают заметно измениться.

Ограничиваясь учетом первых членов разложения в ряд по , т. е. полагая

(21.17)

выражения для и примут следующий вид:

Заметим, что величины и , получающиеся в результате интегрирования белого шума с некоторым весом за «прошедший» промежуток времени, статистически независимы от «будущих» значений . Такое утверждение неверно, если рассматривать случайные величины и при . Учитывая эту статистическую независимость, записываем выражения для условных средних значений процессов и при фиксированном значении :

Поскольку , то

Для вычисления выражения воспользуемся уравнением (12), полагая в нем согласно условию (16) :

Подставив сюда выражение корреляционной функции из (1) и пользуясь правилом интегрирования с дельта-функцией , получим

(21.19)

Подставив это выражение в (18) и отбросив осциллирующие члены двойной частоты , получим

(21.20)

Введем центрированные случайные функции

Очевидно, что . Если в отношении применить рассуждения, использованные при получении соотношений (14), то получим

Приведенные выкладки позволяют записать уравнения (11) и (12) в следующем упрощенном виде

где взаимонезависимые нормальные случайные функции и имеют нулевые средние значения и дельта-функцию корреляции (22).

Из (23) видно, что стохастическое дифференциальное уравнение для огибающей не зависит от фазы и его можно решать самостоятельно. Это уравнение полностью аналогично уравнению (19.50). Согласно (19.51) стационарная плотность вероятности огибающей определяется законом Релея

(21.24)

Таким образом, если на узкополосный колебательный контур воздействует широкополосный (белый) шум, то огибающая случайного процесса на выходе контура в стационарном состоянии имеет релеевскую плотность вероятности. Этим результатом можно воспользоваться на практике для моделирования релеевского процесса. Огибающую можно выделить при помощи амплитудного линейного детектора огибающей.

Найти плотность вероятности фазы , определяемой вторым уравнением (23), затруднительно.

Возвратимся к общему случаю, когда имеется сигнал и шум Применяя в отношении случайных процессов, фигурирующих в правых частях уравнений (6) и (7), те же рассуждения, которые использовались при выводе формул (20) и (22), можно принести исходные уравнения к следующему виду:

где и — взаимонезависимые нормальные случайные процессы с нулевыми средними значениями и дельта-функциями корреляции:

К сожалению, плотности вероятностей огибающей и фазы в этом случае найти не удается.