Неограниченные блуждания

Пусть движение частицы, исходящее из точки , возможно на неограниченной прямой (т. е. от до ). Тогда через шагов координата частицы будет равна

Случайная величина может принимать различные значения . Чтобы попасть в точку частица должна сделать положительных шагов, отрицательных шагов и "нулевых" шагов, где и —неотрицательные целые числа, удовлетпо-рнющне равенствам.

Вероятность того, что , определяется обобщенным биномиальным законом

где суммирование производится по всем значениям , удовлетворяющим равенствам (2).

Обозначим через и среднее значение и дисперсию случайной величины (за один шаг); они равны

Тогда среднее значение и дисперсия случайной величины будут определяться формулами

Вычислим вероятность того, что в момент времени частица находится в одном из состояний . Так как эта вероятность определяется суммой вероятностей отдельных состояний, то для нее можно получить приближенное выражение, которое следует из центральной предельной теоремы. Согласно этой теореме случайная величина при больших распределена приближенно по нормальному закону со средним значением и дисперсией . Поэтому

где

— интеграл вероятности.

Более общие характеристики дискретного блуждания по неограниченной прямой можно получить при помощи производящей функции (см. Приложение 11). По определению производящая функция одного скачка равна

Так как отдельные скачки независимы, то .

Полагая , введем производящую функцию

Производящая функция содержит всю информацию о процессе в том смысле, что вероятность является коэффициентом при в разложении .