15. Нормальный марковский процесс

Рассмотрим случайный процесс , заданный стохастическим линейным дифференциальным уравнением первого порядка

где — постоянные коэффициенты, — нормальный белый шум.

Покажем, что случайный процесс является марковским. Этот результат в литературе иногда называют первой теоремой Дуба [3]. При доказательстве воспользуемся рассуждениями, аналогичными приведенным в предыдущем параграфе.

Решение уравнения (1) при начальном условии имеет вид

Рассмотрим три произвольных момента времени . Из (2) следует, что

Отсюда видно, что не зависит от , если задано . Поэтому, например, для плотности вероятности перехода справедливо равенство

что и доказывает марковский характер процесса .

Вычислим теперь коэффициенты сноса и диффузии. Для этого полежим в (3) . Приращение процесса за время равно

При вычислении коэффициентов сноса и диффузии по формулам (11.10) и (11.11) воспользуемся разложением , и правилом интегрирования с дельта-функцией (см. (III-6). Тогда получим

Отметим, что значения коэффициентов и можно получить без использования явного решения уравнения (1). Это важно в случае нелинейных стохастических уравнений.

Действительно, приращение согласно (1) равно

Отсюда находим среднее значение условного приращения

а также выражение для коэффициента :

На основании (7) для среднего квадрата условного приращения можем написать

Поэтому

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (11.16) принимает

Применяя метод разделения переменных (см. § 12), можно показать [77], что фундаментальное решение уравнения (8) имеет вид

Это есть нормальная нестационарная плотность вероятности с математическим ожиданием и дисперсией . Полагая в (9) , находим стационарную плотность вероятности

Характер изменения алотности вероятности дерехода показан на рис. 15.1. Начальная дельтообразная плотность вероятности с течением времени систематически смещается влево и расплывается все шире и шире, приближаясь к нормальной стационарной плотности вероятности .

Рис. 15.1. Изменение плотности вероятности перехода во времени.

Предположим, что плотность вероятности для начальной координаты является нормальной:

Умножив (9) на (11) и выполнив интегрирование по , имеем

(15.12)

В том частном случае, когда плотность вероятности начальной координаты (11) совпадает со стационарной плотностью (10), т. е. , из (12) получим

(15.13)

Следовательно, если плотность вероятности начальной координаты совпадает со стационарной плотностью вероятности, то переходный процесс в системе отсутствует и стационарное состояние имеет место, начиная с начального момента . Этот результат для непрерывных марковских процессов полностью аналогичен результату для дискретных процессов, который был сформулирован на с. 17.

Отметим, что формулы (9) и (10) можно получить более простым и коротким путем, не прибегая к аппарату марковских процессов. Известно, что в результате линейного преобразования нормального процесса получается также нормальный процесс. Так как шум в правой части линейного дифференциального уравнения (1) предполагался нормальным, то случайный процесс будет также нормальным.

Для записи одномерной нормальной плотности вероятности процесса нужно найти его математическое ожидание и дисперсию.

При начальном условии решение уравнения (1) дается выражением (2). Используя характеристики белого шума (14.3), из (2) находим математическое ожидание и дисперсию

Из нормальности процесса и этих соотношений сразу следуют формулы (9) и (10).

Воспользовавшись решением (2), нетрудно найти корреляционную функцию процесса :

(15.15)

В стационарном состоянии корреляционная функция равна

(15.16)

В связи с приведенными выше результатами первую теорему Дуба часто формулируют так. Нормальный случайный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией является также марковским процессом.

Отметим, что в отличие от винеровского процесса (14.2), для которого приращения на непрекрывающихся интервалах независимы, для рассматриваемого нормального марковского процесса (1) приращения зависимы. Действительно, введем приращения процесса на примыкающих интервалах времени и

и обозначим дисперсии этих приращений соответственно через и .

Воспользовавшись формулой (16), нетрудно убедиться, что нормированная корреляционная функция приращений на примыкающих интервалах длительностью и в стационарном состоянии равна

Отсюда видно, что для малых временных интервалов нормированная корреляционная функция между приращениями мала и приращения можно считать практически независимыми.

Наоборот, при больших временных интервалах нормированная корреляционная функция стремится к постоянной величине . Этот пример наглядно подтверждает, что условие независимости приращений на неперекрывающихся интервалах времени является необязательным, чтобы процесс был марковским.

Укажем, что нормальные марковские процессы вида (1) часто используются для моделирования телевизионных сообщений и некоторых сообщений в телеметрии.