Основные соотношения

Предварительно напомним основное соотношение, аналогичное (30.30), между целочисленным процессом , определяющим число случайных точек процесса восстановления в полуинтервале , и соответствующей последовательностью случайных величин , характеризующих времена их появления. Для любых и

Следовательно, число событий в полуинтервале меньше или равно тогда и только тогда, когда время появления -го события больше . Из (4) следует, что

Это соотношение гласит, что в полуинтервале будет ровно событий тогда и только тогда, когда время появления -го события меньше или равно , а время появления -го события больше .

Из соотношений (4) и (5) следуют важные формулы для вероятностей

Формулы (6) и (7) можно записать через функции распределения

Время до появления события равно сумме и для процесса восстановления это есть сумма k независимых случайных величин. Применяя общеизвестные методы теории вероятностей, можно в принципе получить любые требуемые статистические характеристики случайной величины . В частности, из центральной предельной теоремы следует, что величина при больших асимптотически нормально распределена со средним значением и дисперсией , где и — среднее значение и дисперсия каждой из случайных величин , которые предполагаются конечными. Для этого асимптотического результата распределение случайной величины не имеет значения (если дисперсия ограничена).

Если удается вычислить функции распределения случайных величин , то по формулам (8) и (9) можно найти соответственно функцию распределения и закон распределения числа событий в интервале . Естественно, что для процесса Пуассона формулы (8) и (9) должны приводить к результатам (30.34) и (30.12). Компактные результаты также получаются в случае, когда интервалы между событиями , имеют гамма-распределение [10].

Воспользуемся формулой (6) для исследования асимптотического распределения при больших , базируясь на том факте, что случайная величина при больших k асимптотически нормальна.

Поскольку значение величины , вообще говоря, зависит от , обозначим ее через и перепишем соотношение (6):

(31.10)

Выше указывалось, что при больших случайная величина является асимптотически нормальной со средним значением и дисперсией . Имея в виду последующий предельный переход, перейдем в правой части равенства (10) сначала к нормированной случайной величине, а затем заменим на согласно равенству

Тогда последовательно можем написать

(31.11)

Объединяя равенства (10) и (11) и переходя к пределу при , получим

(31.12)

где — известный интеграл вероятности (4.7).

Напомним, что если нормальная случайная величина имеет плотность вероятности

то

(31.13)

На основании сравнения формул (12) и (13) приходим к заключению, что случайная величина при больших асимптотически распределена нормально, причем среднее значение и дисперсия равны

(31.14)

Поскольку при доказательстве этого результата использовался только факт асимптотической нормальности распределения случайной величины при больших , то полученный вывод справедлив для всех трех видов процессов восстановления: простого, общего и стационарного. Метод доказательства результата (12) требует только асимптотической нормальности co средним значением и дисперсией, пропорциональными . Поэтому он может быть применен для рассмотрения более общих процессов. Однако заметим, что если требуются поправки к асимптотическому распределению, то для общего и стационарного процессов восстановления может оказаться необходимым учитывать тот факт, что случайная величина может иметь распределение, отличное от других величин .

Простейшим частным случаем результата (12) является пуассоновский процесс, для которого согласно (30.41)

При этом по формуле (14) получаем

(31.15)

В данном частном примере формула (12) подтверждает хорошо известный в теории вероятностей факт, что при достаточно больших пуассоновское распределение переходит в нормальное.

Из формулы (14) для асимптотического среднего значения и дисперсии следует, что для предельного распределения (12) справедливо соотношение

(31.16)

Это является обобщением на произвольный процесс восстановления хорошо известного свойства пуассоновского распределения, для которого согласно (15) отношение

(31.17)

Конечно, (16) является только предельным результатом, в то время как (17) — точное равенство.

Применим формулу (16) к электронному счетчику, описанному на с. 429. Пусть эмиссия частиц описывается законом Пуассона с параметром . Обозначим среднее значение времени блокировки счетчика через и дисперсию через . Нетрудно убедиться (рис. 31.1), что среднее значение и дисперсия временного интервала между последовательными восстановлениями (зарегистрированными частицами) равны соответственно

Число частиц , зарегистрированных счетчиком за достаточно большое время является асимптотически нормально распределенным со средним значением и дисперсией, определяемыми согласно

Поэтому отношение дисперсии к среднему значению равно

(31.18)

Если что обычно выполняется на практике, то отношение (18) меньше единицы. Следовательно, относительный разброс будет меньше, чем для пуассоновского распределения.