Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
30. Пуассоновские процессыХарактеристики простого пуассоновского процессаРассмотрим более подробно, чем в § 29, простейший или, иначе, пуассоновский процесс точечных событий на оси времени (рис. 29.1, а) и некоторые его обобщения.
Целочисленный пуассоновский точечный процесс 1. Он ординарен, т. е. вероятность наступления более одного события на любом малом интервале времени
где
2. Процесс стационарен, т. е. его статистические характеристики не изменяются при сдвиге всех точек вдоль оси времени на произвольную, но одну и ту же величину 3. Он имеет независимые приращения (значения) на неперекрывающихся интервалах времени (отсутствие последействия). Отметим, что согласно определению (29.2) для целочисленного процесса
В предыдущем параграфе указывалось, что полное статистическое описание целочисленного процесса
и получим для нее аналитическое выражение. Пусть
Соотношение (6) справедливо для любого точечного процесса. Третье специальное свойство пуассоновского процесса (независимость приращений) позволяет в выражении (6) заменить условные вероятности на безусловные:
Полагая в выражении (6) интервал
Переходя здесь к пределу при
В уравнении, соответствующем
Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами (8) можно получить несколькими методами. Можно, например, находить решения последовательно, начав с
Подставив этот результат в уравнение (8) при
Проделав последующие вычисления, придем к окончательной формуле, получившей название закона Пуассона,
Из формулы (101 следует, что вероятность отсутствия точки на малом интервале времени
что согласуется со свойством закона Пуассона (3). Аналогично, из (11) получаем
Этот результат совпадает с (1). Кроме этого, отсюда следует, что
Закон Пуассона можно получить более коротким путем при помощи производящей функции вероятностей (см. Приложение II)
Умножим обе части уравнения (8) на
или
При любом фиксированном
Решение уравнения (15) имеет вид
Из начального условия (16) находим произвольную «постоянную»
Раскладывая второй сомножитель в правой части в степенной ряд, имеем
Приравняв почленно правые части выражений (14) и (18), придем к закону Пуассона (12).
Рис. 30.1. Закон Пуассона. Ради краткости последующих математических записей обозначим
и запишем закон Пуассона в следующем виде
Графики закона Пуассона для нескольких значений безразмерного параметра Нетрудно проверить, что для закона Пуассона справедливы следующие функциональные соотношения:
Начальные моменты закона Пуассона
равны
Другие моменты более высокого порядка можно вычислить, пользуясь одной из двух рекуррентных формул
Центральные моменты
равны
Высшие центральные моменты закона Пуассона могут быть подсчитаны по рекуррентной формуле
Все кумулянты (семиинварианты) закона Пуассона равны Из (23) и (25) следует, что для рассматриваемого закона Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны друг другу
Оказывается [131], что среди всех экспоненциальных плотностей вероятностей вида
можно трактовать как среднее число точек, приходящихся на единичный интервал времени. Поэтому v часто называют интенсивностью процесса. Изучим теперь статистические характеристики временных интервалов между различными точками. Сначала найдем функцию распределения времени появления
Рассмотрим типовую реализацию рассматриваемого целочисленного процесса Поэтому можем написать
Если ввести функцию распределения закона Пуассона
то предыдущее равенство примет вид
Рис. 30.2. Типовая реализация целочисленного процесса
Рис. 30.3. Примеры распределения Эрланга
Наоборот,
Отметим, что формулы (32) и (33) справедливы для любого целочисленного процесса
Отсюда, беря производную по времени
Таким образом, плотность вероятности времени появления
Эта плотность вероятности известна как гамма-распределение (с параметрами
Покажем, что последовательность временных интервалов между соседними точками пуассоновского процесса есть независимые и одинаково распределенные случайные величины с экспоненциальной плотностью вероятности
Обозначим интервалы между точками (рис. 30.2) через
Согласно третьему определяющему свойству пуассоновского процесса (независимость значений на неперекрывающихся интервалах появление событий после любого момента времени Для произвольного
На основании этого равенства находим функцию распределения интервалов
Следовательно, плотность вероятности временных интервалов между соседними точками является экспоненциальной
Среднее значение и дисперсия интервалов между точками равны
Из сравнения выражений (36) и (41) следует, что
Такой результат является закономерным, так как Докажем теперь обратное утверждение. Пусть имеется последовательность независимых случайных величин
Организуем случайный точечный процесс следующим образом (рис. 30.4). Стартуя от произвольной начальной точки
Можно утверждать, что полученные точки распределены по закону Пуассона с параметром Чтобы доказать наше утверждение, необходимо показать, что вероятность Предварительно приведем несложные математические сведения [132]. Используя известный интеграл
убеждаемся, что плотности вероятности (42) соответствует характеристическая функция
Дифференцируя
соответствует плотность вероятности
Все рассматриваемые случайпые величины Учтем, что случайные величины
Рис. 30.4. Формирование точечного процесса из случайных величин
Рис. 30.5. Прямое Чтобы в полуинтервале
Поэтому искомая вероятность должна определяться следующими условиями:
Таким образом, утверждение доказано. При помощи аналогичных рассуждений можно показать, что количество точек в неперекрывающихся интервалах независимо. Следовательно, два термина: 1) точечный процесс является пуассоновским и 2) интервалы между соседними точками процесса — независимые случайные величины с одинаковой экспоненциальной плотностью вероятности (40) по существу являются эквивалентными. Интересно заметить, что если конструировать случайные точки Это объясняется тем, что указанное выше дополнительное предположение требует выполнения равенства
Оказывается [132], единственной функцией, удовлетворяющей этому равенству, является экспоненциальная функция вида (42). Для полного статистического описания пуассоновского точечного процесса вычислим плотности вероятностей прямого Возьмем произвольный момент времени
Покажем, что плотности вероятностей этих случайных величин определяются соответственно формулами
Действительно,
Продифференцировав это выражение по Плотности вероятностей (48) совпадают с (40), т. е. статистические характеристики прямого и обратного времен возвращения такие же, как и для интервалов между соседними точками пуассоновского процесса. Иначе говоря, ничего не изменится, если на рис. 30.5 считать, что в Рассмотрим случайную величину
Эта плотность вероятности отличается от (40) и, как нетрудно проверить, совпадает с плотностью вероятности случайной величины Различие между формулами (50) и (40) объясняется тем, что первая из них допускает возможность наличия точки процесса в Приведем еще одно свойство точечного процесса Пуассона, характеризующего его как чисто случайный процесс. Пусть
Рис. 30.6. Разбиение полуинтервала Говорят, что последовательность Для доказательства
Обсзначим число событий, оказавшихся в полыинтервале
Запишем выражение для условной совместной вероятности наличия
Здесь последнее равенство написано на том основании, что последовательность событий Поскольку рассматриваемый процесс имеет стационарные и независимые приращения, то
В каждом из подынтервалов число событий распределено по закону Пуассона, т. е.
Поэтому
Допустим далее, что подынтервалы
где предполагается Покажем теперь, что формулой (55) описывается и последовательность случайных величин
Рис. 30.7. Случайное расположение точек в полуинтервале Так как по предположению все случайные величины
При организации порядковой статистики
Теперь случайные величины
Из совпадения формул (55) и (58) следует идентичность статистических характеристик пуассоновского точечного процесса и порядковой статистики независимых случайных величин, равномерно распределенных в полуинтервале К полученному результату можно прийти другим, более простым и коротким, но менее строгим путем, базирующимся на том, что при определенных условиях биномиальное распределение переходит в пуассоновское [132]. Допустим, что случайным и независимым образом во временном полуинтервале
Нас интересует вероятность Выражение для
Предположим,
Если В общем случае случайные события во времени не являются простым пуассоновским точечным процессом. В качестве итога перечислим физические условия, при которых точечный процесс будет пуассоновским. 1. Точечный процесс 2. Если 3. Расстояние от произвольно взятого момента времени 4. Полное число событий
|
1 |
Оглавление
|