9. Марковские последовательности

Основные определения и свойства

Пусть случайные величины в некоторые дискретные моменты времени принимают непрерывнее многообразие возможных значений (см. табл. 1.1). Под случайными величинами можно, например, понимать временные отсчеты непрерывного процесса . По такому принципу работают все импульсные системы радиосвязи. Известно, что непрерывные случайные величины можно характеризовать функциями распределения или плотностями вероятности.

Последовательность случайных величин называется марковской, если при любом для условных функций распределения или условных плотностей вероятностей выполняются соотношения

Эти соотношения выражают тот факт, что для марковской последовательности условные функции распределения или плотности вероятностей для момента времени зависит только от того, какие значения принимала случайная величина в предшествующий момент времени и не изменяются от добавочных сведений о том, какие значения были приняты случайной величиной в более ранние моменты времени.

Из формулы (2) следует, что совместная плотность вероятности рассматриваемых случайных величин выражается через плотность вероятности начального состояния и плотности вероятности перехода :

Эту формулу можно принять за определение марковской последовательности, так как из нее следует (2):

Укажем некоторые свойства марковских последовательностей.

1. Если известно состояние марковской последовательности в настоящий момент времени, то ее будущее состояние не зависит от прошлого состояния. Это означает, что если известно состояние , то при случайные величины и независимы

Действительно, на основании (2) можем написать

Сформулированное положение справедливо для нескольких прошлых и будущих состояний.

2. Любая подпоследовательность, взятая из марковской последовательности, является также марковской, т. е. если при заданном рассматривать моменты времени , то

3. Марковская последовательность остается марковской и в обратном направлении, т. е.

В этом можно убедиться, расписав левую часть равенства (7) согласно формуле (2):

4. Плотность вероятности перехода удовлетворяет уравнению

являющемуся частным случаем уравнения Колмогорова—Чэпмена.

Действительно, для марковской последовательности можем написать

Проинтегрировав обе части этого равенства , получим

Отсюда следует уравнение (8).

Марковская последовательность называется однородной, если плотности вероятностей перехода не зависят от .

Марковская последовательность называется стационарной, если она однородна и все состояния имеют одну и ту же плотность вероятности

По аналогии со сложной цепью Маркова можно ввести непрерывную сложную марковскую последовательность произвольного порядка , определяемую следующим образом:

При сложная марковская последовательность переходит в простую. При следует формально положить .

Пример 1. Мартингалы. Независимые случайные величины имеют плотности вероятностей соответственно. Покажем, что случайные величины

образуют марковскую последовательность.

Используя правило композиции законов распределения, находим совместную плотность вероятности

На основании этого соотношения определяем условную плотность вероятности

Так как последнее выражение не зависит от , то последовательность случайных величин является марковской.

Отметим, что если , то . Кроме этого, поскольку , то

так как не зависит от и . Следовательно, при любом

Последовательности случайных величин, обладающие таким свойством, называются мартингалами.

Пример 2. Спектр радиосигнала с разрывной фазой. Вычислим спектр радиосигнала вида (2.53):

В отличие от примера 3 §2 примем, что значения , есть непрерывные случайные величины, равномерно распределенные в интервале , причем , и при статистически независимы. Разрывы (скачки) фазы допускаются только через фиксированный временной интервал , а в пределах каждого интервала фаза остается постоянной. В данном примере последовательность значений независима и, следовательно, является частным и наиболее простым случаем марковской последовательности.

Оставляя в силе другие условия примера 3, для решения задачи можно воспользоваться формулой (2.56):

где вероятность определена формулой (2.58) и

При значения и принадлежат одному и тому же интервалу длительностью , т. е. . При этом

При случайные величины и берутся на разных интервалах и поэтому независимы. Для них условная совместная плотность вероятности равна произведению одномерных плотностей вероятностей

Поэтому

Следовательно,

Подставив это выражение в (11) и воспользовавшись затем формулой (2.58) при , получим

По виду корреляционной функции (12) находим энергетический спектр

Эта формула другим методом была получена в [34].

Формула (13) показывает, что если в отсутствие разрывов фазы спектр радиосигнала был дискретным, то при наличии описанных скачков фазы спектр становится сплошным. Ширина спектра зависит от того, насколько часто возможны скачки фазы.

Предположим теперь, что указанные выше скачки фазы могут происходить не через фиксированный интервал , а в случайные моменты времени, причем характер временных точек возможных скачков задается законом Пуассона

Повторив предыдущие рассуждения, можно убедиться, что в данном случае остается справедливой формула (12), согласно которой

Характер спектральной плотности будет отличным от (13), а именно

Спектр по-прежнему является сплошным, он расширяется при увеличении частоты скачков .