Моменты времени первого достижения границ

Получить аналитическое решение первого уравнения Понтрягина удается лишь в самых простых случаях. Поэтому на практике часто ограничиваются вычислением одномерных моментов времени первого достижения границ, в частности, среднего значения и дисперсии.

Вероятность того, что первое достижение границ произойдет за время между и равна , если соответствующая плотность вероятности (69) существует. Поэтому одномерные моменты времени первого достижения границ определяются выражением

Умножив обе части уравнения (70) на и интегрируя затем по от 0 до , получим следующее дифференциальное уравнение для характеристической функции :

(26.114)

где

(26.115)

Уравнение (114) позволяет найти одномерные моменты времени первого достижения границ. Для этого воспользуемся известным представлением характеристической функции в виде ряда по моментам

(26.116)

Подставив (116) и его в (114) и приравняв члены при одинаковых степенях , получим цепочку линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

Уравнения (117) позволяют последовательно при найти моменты распределения времени первого достижения границ. Эти уравнения должны решаться при соответствующих граничных условиях, причем по физическому смыслу все моменты должны быть неотрицательными величинами, т. е.

(26.118)

Граничные условия для уравнений (117) получаются на основании свойства (84) из (79), (82) и (83). Так, если границы и поглощающие, из (79) следует

(26.119)

Если одна из границ, например, с является отражающей, то из (82) получим

Наконец, если граница такова, что частица, попав на нее, остается на ней в течение случайного времени , имеющего плотность вероятности , а затем перескакивает в некоторую случайную точку , распределенную по закону , то из (83) имеем

(26.121)

где

Поясним происхождение второго условия (121). Из формулы (83) после -кратного дифференцирования по следует

К правой части последнего равенства применим известную формулу -кратного дифференцирования произведения двух функций

Для отдельных сомножителей суммы (123) справедливы соотношения

Подставляя эти соотношения в (123) и (122), умножая обе части (122) на и переходя к пределу при , на основании (84) получим второе условие (121).

Если начать решение уравнений (117) с , то последующие моменты выразятся через предыдущие . В частности, при из (117) имеем

(26.124)

После нахождения решений уравнений (124) и (125) можно вычислить дисперсию времени первого достижения границ

Если выразить из последнего равенства и подставить в уравнение (125), то с учетом (124) получим дифференциальное уравнение непосредственно для дисперсии времени первого достижения границ

Решение уравнения (127) нужно искать при соответствующих граничных условиях, которые следуют из (119) — (121).

Отметим, что уравнение (124), следующее из основного уравнения (9), впервые было получено Л. С. Понтрягиным [105]. В отличие от уравнения (9), будем называть уравнение (124) вторым уравнением Понтрягина.

Система линейных дифференциальных уравнений (117) решается сравнительно просто, так как при помощи замены каждое уравнение сводится к линейному уравнению первого порядка

(26.128)

Решение (128) может быть записано в квадратурах

(26.129)

где функция определяется соотношением (19), — постоянная, которая определяется из граничных условий.

Из (129) и граничных условий (119) в случае, когда обе границы являются поглощающими, получим

Если одна из границ, например , является отражающей, то из (129) и (120) имеем

Так как согласно (129) для всех при , а из (117) следует, что при , то максимальное значение функции в этом случае достигается при .

Формулы (130) и (132) позволяют последовательно, начиная с , определить все моменты времени первого достижения границ из произвольной начальной точки . Так как аналитические выражения этих моментов будут громоздки и интегралы, как правило, не выражаются через известные функции, вычисления удобно проводить на ЦВМ.

Когда плотность вероятности начальной координаты является не дельтообразной (1), а некоторой функцией , где то согласно (19а) можно вычислить усредненные по начальному значению моменты времени первого достижения границ

(26.133)

Чтобы определить моменты распределения времени первого достижения какой-либо одной границы при условии, что другая граница ни разу не достигалась, можно поступить следующим образом.

Обозначим через

одномерные моменты распределения времени первого достижения границы d при условии, что граница с не достигалась. Отметим, что в определении условных моментов распределения времени первого достижения границы плотность вероятности ненормированна , так как существует конечная вероятность достижения границы с раньше, чем .

Продифференцировав уравнение (9) по времени и умножив обе части равенства на после интегрирования по (см. также § 27) получим, что условные моменты являются решениями уравнения (117) с граничными условиями (119). Однако в этом случае удовлетворяет уравнению (16) с граничными условиями (17). Так как уравнение (117) линейное и , то .

Пример 9. Вычислим среднее время и дисперсию времени первого достижения поглощающих границ нормальным марковским процессом (55) (см. пример 4), для которого

Здесь — стационарное значение дисперсии процесса , равное

(26.135)

Подставляя соотношения (134) в общую формулу (130), для среднего времени первого достижения поглощающих границ получим

где — интеграл вероятности, а

(26.137)

В частном случае, когда и границы расположены симметрично , из (136) имеем

(26.138)

Аналогично (130) из (127) можно получить общую формулу для дисперсии времени первого достижения поглощающих границ

(26.139)

Здесь согласно (129) имеет вид

(26.140)

где определяется из соотношения (131) при .

Результаты численных расчетов по формулам (136), (139) среднего времени и дисперсии времени первого достижения поглощающих симметричных границ в зависимости от положения начальной координаты и для различных значений самих границ, представлены на рис. 26.8, 26.9. На этих рисунках сплошными линиями изображено среднее время, а пунктирными — дисперсия времени первого достижения границ.

Рис. 26.8. Среднее время и дисперсия времени первого достижения симметричных границ нормальным марковским процессом.

Рис. 26.9. Среднее время и дисперсия времени первого достижения симметричных границ нормальным марковским процессом.

Пример 10. Рассмотрим вычисление среднего времени и дисперсии времени первого достижения поглощающей границы , если граница является отражающей. Пусть марковский процесс описывается стохастическим дифференциальным уравнением

Для такого процесса коэффициенты сноса и диффузии определяются соотношениями

(26.142)

а одномерная стационарная плотность вероятности является релеевской (см. § 19).

Вводя новую переменную из (19), получаем

(26.143)

Подставив соответствующие величины в формулу (132), имеем

Формуле (144) можно придать вид более удобный для проведения вычислений. Так как

где при — модифицированная интегральная показательная функция [112], то из (144) следует

(26.145)

Для модифицированной интегральной показательной функции справедливо следующее представление в виде ряда

(26.146)

где — постоянная Эйлера.

Подставив (146) в (145), получим удобную для вычислений формулу

Для дисперсии времени первого достижения границы , когда граница с является отражающей, из (127) с учетом (129) имеем

(26.148)

После подстановки (142), (143) в общую формулу (148) для дисперсии времени первого достижения поглощающей границы релеевским процессом получим

Аналогично тому, как это было сделано при выводе (147), преобразуем (149) к виду, удобному для проведения вычислений. Для этого представим второй интеграл в (149) в виде суммы двух интегралов

(26.150)

Второй интеграл в (150) вычислялся при выводе (147). Поэтому остается вычислить только . Полагая для простоты нижний предел в равным с, имеем

где — интегральная функция [112], для которой справедливо представление в виде ряда

Подставив (152) в (151) и положив , получим

Из последнего равенства и результатов вычисления следует

(26.153)

Последнее равенство написано на основании того, что для нечетных степеней члены суммы обратятся в нуль. Таким образом, подставив (153) в (149), имеем

Так как ряд (153) сходится равномерно, в выражении (154) можно поменять местами порядок суммирования и интегрирования, т. е.

После замены отсюда следует

. (26.155) В частном случае при 0 из (155) получим

Ряд (156) довольно быстро сходится, так как при достаточно больших член в квадратных скобках становится приблизительно равным . На рис. 26.10, 26.11 представлены вычисленные по формулам (147) и (155) значения среднего времени и дисперсии времени первого достижения поглощающей границы релеевским процессом.

Пример 11. Рассмотрим винеровский процесс (28) на интервале . Пусть в начале системы координат помещен экран, при попадании на который частица остается на в течение случайного времени , имеющего распределение , а затем, в отличие от примера 8, перескакивает в определенную точку , например .

Граница по-прежнему является поглощающей. Требуется определить среднее время первого достижения границы из начальной точки .

Подставляя значения в формулу (129), после интегрирования получим

(26.157)

Рис. 26.10. Среднее время первого достижения поглощающей границы релеевским процессом.

Рис. 26.11. Дисперсия времени первого достижения границы релеевским процессом.

Значение постоянной необходимо определить из граничного условия (121), которое в данном случае принимает вид

При написании последнего равенства было учтено, что . Из (157) и (158) имеем .

Таким образом, для среднего времени первого достижения границы получим простое выражение

Пример 12. Вычислим среднее время и дисперсию времени до срыва слежения и перескока фазы в системе ФАП первого порядка, рассмотренной ранее в примере 2. В этом случае формулам (130), (131) можно придать следующий вид:

где

Для среднего времени первого достижения ближайших устойчивых состояний равновесия из первоначального устойчивого состояния в (2, 81) получено аналитическое выражение

где - функция Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента .

Получить аналитические формулы для более высоких моментов затруднительно. Более того, не удается получить аналитического выражения для среднего времени первого достижения ближайших устойчивых состояний равновесия из произвольной начальной точки . Значение зависимости моментов от произвольного начального рассогласования по фазе представляется важным, так как часто на практике точное начальное значение фазовой ошибки неизвестно. В том случае, когда начальное значение фазового рассогласования равномерно распределено на интервале , для усредненных значений моментов имеем

По формулам (160) и (162) были проведены вычисления [108] на ЦВМ первых двух моментов времени первого достижения границ из произвольной начальной точки . Вычисления проводились для различных значений и . Границы и при анализе срыва слежения выбирались в соответствии с (38), а при анализе перескоков фазы — в соответствии с (39).

Рис. 26.12. Зависимость среднего времени до срыва слежения в системе ФАП первого от отношения сигналшум при различных относительных начальных расстройках по частоте .

В таблице 26.1 представлены результаты вычислений среднего времени стандартного отклонения времени до срыва слежения из первоначального устойчивого состояния равновесия и их усредненных в соответствии с (162) по случайному начальному фазовому рассогласованию значений . На рис. 26.12 показаны кривые, характеризующие зависимость среднего времени до срыва слежения от отношения сигнал/шум D для различных относительных расстроек по частоте (аналогичный характер имеют кривые стандартного отклонения ). Видно, что значение порога D, т. е. значение отношения сигнал/шум, ниже которого среднее время до срыва слежения начинает резко убывать, зависит от начальной расстройки по частоте. Для значений зависимость среднего времени и стандартного отклонения от отношения сигнал/шум может быть аппроксимирована простыми эмпирическими формулами, так как в логарифмическом масштабе она имеет характер, близкий к линейному. Зависимости и произвольной начальной ошибки по фазе и отношения сигнал/шум для значений и характеризуют нормированные к максимальному значению кривые на рис. 26.13, 26.14. Из анализа кривых рис. 26.13, 26.14 и данных табл. 26.1 следует, что при больших отношениях сигнал/шум с большой степенью точности выполняется равенство . Это означает, что при таких отношениях сигнал/шум распределение времени достижения границ из начального устойчивого состояния равновесия подчиняется экспоненциальному закону.

Таблица 26.1

Таблица 26.2.

Рис. 26.13. Зависимости среднего временя и стандартного отклонения времени до срыва слежения от начальных расстроек по фазе при .

Рис. 26.14. Зависимость средяего в ремам и стандартное отклонение времени до срыва слежения от начальных расстроек по фазе при .

Все эти выводы справедливы также для среднего времени и стандартного отклонения времени до перескока фазы, результаты вычислений которых сведены в табл. 26.2. Зависимость и от произвольной начальной ошибки по фазе и отношения сигнал/шум для относительных начальных расстроек по частоте и иллюстрируют нормированные к максимальному значению кривые на рис. 26.15, 26.16. Из сравнения данных табл. 26.1 и 26.2 следует, что равенство

которое ранее считалось справедливым при любых отношениях сигнал/шум, приближенно выполняется только для значений отношения сигнал/шум, больших порогового .