28. Срыв синхронизации в системах ФАП второго порядка

Уравнение для моментов распределения времени до срыва синхронизации в оптимальных системах ФАП второго порядка

Рассмотрим статистические характеристики срыва синхронизации в оптимальной системе ФАП второго порядка, предназначенной для слежения за фазой полезного сигнала . Предполагается, что поведение случайной фазы описывается системой априорных стохастических дифференциальных уравнений

где и — взаимонезависимые нормальные белые шумы с известными статистическими характеристиками

Система уравнений (1) позволяет учесть флуктуации фазы и частоты полезного сигнала за счет различного рода нестабильностей задающих генераторов и эффекта Доплера [120]. Принятое колебание на входе системы ФАП имеет вид

где — аддитивный нормальный белый шум, у которого

В этом случае синтез оптимального следящего устройства методами марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации аналогично [121] приводит к следующей системе уравнений для оценок флуктуирующих параметров

Здесь стационарные значения коэффициентов матрицы апостериорных кумулянтов определяются выражениями [77]:

где приняты обозначения

Уравнения (2) совместно с равенствами (3) — (5) полностью определяют структурную схему и параметры оптимального следяшего устройства.

Рис. 28.1. Структурная схема оптимальной системы ФАП второго порядка.

Оно представляет собой систему ФАП, у которой управление частотой подстраиваемого генератора осуществляется при помощи цепи обратной связи (система ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром). Коэффициенты передачи цепей определяются не только априорными характеристиками флуктуации фазы полезного сигнала, но и интенсивностью аддитивного шума. Апостериорная неточность слежения за фазой может быть вычислена по формуле (3).

Структурная схема синтезированной системы ФАП представлена на рис. 28.1, где приняты следующие обозначения: - амплитуда колебаний на выходе подстраиваемого генератора (ПГ), которая при наличии на входе системы полезного сигнала совпадает с ; - постоянные известные характеристики перемножителя и управляющего элемента (УЭ); - постоянная времени интегрирующей цепочки фильтра нижних частот (ФНЧ); и — коэффициенты передачи ФНЧ

Предполагается, что в отсутствие напряжения на управляющем элементе собственная частота подстраиваемого генератора равна центральной частоте полезного сигнала , т. е. средняя расстройка генераторов по частоте отсутствует.

С учетом обозначений рис. 28.1 уравнения (2) можно записать в виде

Здесь было учтено также, что произведение принятого колебания и сигнала подстраиваемого генератора можно представить в виде [82]:

При выводе (7), как обычно, отброшено слагаемое с двойной частотой [82, 121].

Статистическая динамика систем ФАП обычно описывается в координатах

где — разность фаз, а — разность текущей оценки и истинной частоты полезного сигнала. Вычитая из (6) соответствующие уравнения системы (1). получим

В операторной форме записи систему уравнений (8) можно представить в виде

где передаточная функция и постоянные времени пропорционально интегрирующего фильтра определяются соотношениями

В отсутствие флуктуации уравнение (9) совпадает с основным уравнением системы ФАП (см., например, [122]) при нулевой начальной расстройке средних частот полезного сигнала и подстраиваемого генератора. При этом полоса удержания системы ФАП и параметр фильтра равны

С учетом равенств (10), (11) уравнения (8) можно записать в виде

Стохастические дифференциальные уравнения (12) совместно с равенствами (10), (11) полностью описывают статистическую динамику оптимальной системы ФАП второго порядка при наличии флуктуации фазы и частоты полезного сигнала и аддитивного белого шума. Они определяют двумерный марковский процесс , для которого коэффициенты уравнения Фоккера— Планка—Колмогорова равны

(28.13)

Под срывом синхронизации в системе ФАП второго порядка будем понимать, во-первых, достижение координатой точек неустойчивого состояния равновесия системы и, во-вторых, достижение координатой значений, равных полосе удержания системы (см. также пример 2 § 27).

Для системы ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром особые точки расположены при [182]. При четных значениях они являются точками устойчивого состояния равновесия, а при нечетных — точками неустойчивого состояния равновесия. Соответствующей заменой переменных в уравнении Понтрягина (27.1) с коэффициентами (13) аналогично примеру 2 § 26 можно показать, что распределение времени до срыва синхронизации в системе ФАП второго порядка не зависит от того, в окрестности какого устойчивого состояния равновесия рассматривается срыв слежения.

Поскольку обычно представляют интерес минимальные ошибки по фазе, будем в дальнейшем рассматривать первое условие срыва синхронизации как достижение координатой точек (см. также [119]). При этом предполагается, что начальное значение .

Вторсе условие, при котором также происходит срыв синхронизации, вытекает из того, что максимально возможная расстройка по частоте, которую может компенсировать цепь управления системы ФЛП, равна полосе удержания системы [122].

Таким образом, под срывом синхронизации в оптимальной системе ФАП второго поряда будет пониматься первый выход траектории двумерного марковского процесса за границы области . В данном случае уравнение (27.22) относительно -го момента распределения времени первого достижения границы области из начальной точки имеет вид

Здесь коэффициенты уравнения (14) определяются соотношениями (13).

Рассмотрим определитель матрицы диффузии двумерного марковского процесса

(23.15)

Подставляя в (15) соотношения (13), получим

Очевидно, что , причем знак равенства имеет место только при одновременном выполнении условия . Из теории уравнений в частных производных известно, что при уравнение (14) относится к эллиптическому, а при - к параболическому типу. Ограничимся в дальнейшем случаем, когда либо , либо отлично от нуля, т. е. будем учитывать флуктуации фазы или частоты полезного сигнала. В этом случае всюду на плоскости и, кроме этого, на всей границе области выполняется условие (27.9). Последнее означает, что вся выделенная граница области является регулярной для уравнения (14) и, следовательно, . При этом граничное условие (27.23) примет вид

Эллиптическое уравнение (14) в совокупности с граничными условиями (16) образует классическую краевую задачу Дирихле. Так как для коэффициентов вила (13) аналитически решить эту задачу не удается, будем искать решение численными методами.

Переходя в (12), (16) к безразмерным величинам, с учетом (13) получим

(28.18)

Здесь — безразмерные функции; — безразмерное начальное значение ошибки по фазе; — нормированное начальное значение расстройки по частоте; - отношение сигнал/шум в полосе пропускания интегрирующей цепочки; — отношение ширины спектра флуктуации частоты полезного сигнала к полосе удержания системы ФАП; - безразмерные параметры, которые характеризуют интенсивность флуктуации фазы и частоты полезного сигнала и задаются соотношениями

— стационарное значение априорной дисперсии флуктуаций частоты.

Для расчета парамегров оптимальной системы ФАП второго порядка из (3), (4), (11) и (19) имеем

(28.20)

Таким образом, задание трех априорно известных параметров и полностью определяет характеристики срыва слежения за фазой полезного сигнала в рассматриваемой оптимальной системе ФАП Неточность слежения за фазой на основании (3), (20) может быть оценена но формуле

(28.21)

Рассмотрим возможные начальные условия работы системы ФАП второго порядка, т. е. начальные значения и . При этом можно выделить три основных случая:

1. До некоторого момента времени, принимаемого за начальный , система ФАП была выключена (сигнал на выходе перемно жителя отсутствовал), хотя на вход системы поступала аддитивная смесь полезного сигнала и шума. Такой случаи характерен, например, для начала работы ФАП в системах радионавигации, в которых радиомаяки излучают полезный сигнал постоянно. При этом для всех , так как напряжение на выходе пропорционально интегрирующего фильтра до начального момента времени отсутствует. Предполагая, что флуктуации частоты полезного сигнала к началу работы системы ФАП имеют стационарное распределение, из (1) получим, что представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону

Начальное значение разности фаз является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале , т. е.

(28.23)

2. До некоторого момента времени, принимаемого за начальный, полезный сигнал в принятом колебании отсутствует, т. е. при , и до начального момента времени на вход работающей системы ФАП действует только шум . Этот случай характерен для симплексной связи, когда полезный сигнал на входе приемника появляется с некоторой задержкой, которая может иметь довольно большую величину. Предполагая, что под действием шума за время отсутствия полезного сигнала в системе ФАП установится стационарный режим работы, из второго уравнения системы (8) при получим, что представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону

Начальное значение разности фаз будет по-прежнему равномерно распределено на интервале .

3. Если в случае 1 начальное значение возможно, например, когда система (1) описывает полезное сообщение, которое в начальный момент может отсутствовать), то при разность фаз будет равномерно распределена на интервале .

После того как из уравнения (17) с граничными условиями (18) найдена двумерная зависимость , можно получить усредненные по случайным начальным значениям координат величины моментов для рассмотренных случаев начала работы системы ФАП.

Усредненное по случайному начальному фазовому рассогласованию значение -го момента распределения времени до срыва синхронизации в безразмерных переменных запишется в виде

(28.25)

Из формулы (25) непосредственно следует решение поставленной задачи для случая 3. Для первых двух случаев начальных условий работы системы ФАП выражение необходимо еще осреднить по случайной величине начальной расстройки по частоте.