Процесс рождения и гибели

Рассмотрим дискретный процесс , в котором возможны как положительные, так и отрицательные скачки. Этот процесс, называемый процессом рождения и гибели, сочетает в себе черты простого процесса рождения и простого процесса гибели.

Процесс рождения и гибели подчиняется следующим условиям.

1. Если в момент времени система находится в состоянии , то вероятность перехода в малом интервале времени равна .

2. Если в момент система находится в состоянии , то вероятность перехода в интервале времени равна .

3. Вероятность перехода в состояние, отличное от двух соседних, есть .

4. Вероятность сохранения прежнего состояния равна .

5. Состояние является поглощающим, т. е. если изображающая точка попала в это состояние, то процесс прекращается.

На основании перечисленных условий записываем уравнения (6.12):

В рассматриваемом конкретном случае, когда состояние О является поглощающим, нужно полагать . Поэтому

Предполагается, что в начальный (нулевой) момент времени система находится в некотором состоянии , и следовательно, начальные условия имеют вид

Уравнение (6.7) в данном случае принимает вид

В общем случае, при произвольных функциях и , решение уравнений (8), (9) и (11) оказывается затруднительным. В том частном случае, когда процесс рождения и гибели является линейным, т. е. интенсивности рождения и гибели являются линейными функциями состояния: , решения при начальном условии даются выражениями

где

Среднее значение и дисперсия линейного процесса рождения и гибели равны

Их значения зависят от соотношения между и , а также от времени . В частности, при и средняя интенсивность роста равна нулю , а дисперсия линейно увеличивается во времени .

Из (12) и (14) находим вероятность того, что ко времени система будет находиться в состоянии (вырождение числа частиц или индивидуумов):

Вероятность того, что «коллектив» когда-нибудь выродится, получаем отсюда предельным переходом при :

Этот результат является очевидным и говорит о том, что «коллектив» вымирает с вероятностью единица, если интенсивность гибели больше интенсивности размножения.

Если же интенсивность рождения больше интенсивности гибели, то вероятность вырождения равна отношению этих интенсивностей.

Рассмотрение более общих (неоднородных) процессов рождения и гибели, когда интенсивности рождения и гибели являются произвольными функциями времени, показывает [5], что в этом случае остается в силе решение (12), только теперь функции и должны вычисляться по формулам

где

Для таких неоднородных процессов среднее значение и дисперсия равны

Вероятность вырождения, как следует из (12) и (18), дается формулой

Она стремится к единице при , когда расходится интеграл .

Приведенные выше результаты, начиная с формулы (12), справедливы при начальном условии . Если , то формулы для средних значений и дисперсий получаются умножением правых частей выражений (15) и (20) на . Вероятность вырождения (17) равна по-прежнему единице при и равна при . Когда и зависят от времени, вероятность вырождения получается возведением в степень правой части выражения (21).

Применение рассмотренных дискретных (разрывных) марковских процессов в задачах надежности и массового обслуживания, а также вопросы моделирования таких процессов на ЦВМ изложены в . Более подробно пуассоновские процессы и их обобщения рассматриваются также в § 30—32.