Простейшие операции над пуассоновским процессом

Над случайными точечными процессами, как и над обычными процессами, могут выполняться различные преобразования или операции, например, наложение (суммирование) двух и большего числа процессов, «разрежение» по определенному закону, случайное смещение точек и др. В этом отношении точечный процесс Пуассона обладает замечательным свойством устойчивости (инвариантности) по отношению к ряду преобразований, т. е. после некоторых преобразований процесс по-прежнему остается пуассоновским. Более того, при определенных условиях он правильно описывает асимптотическое поведение многих других точечных процессов.

Рассмотрим некотрые операции над точечным процессом Пуассона, приведя ряд результатов без математических доказательств [127].

Предположим, что имеется конечное число точечных процессов и объединенный (результирующий) процесс формируется наложением (суммированием) этих процессов, как показано на рис. 30.8. Для процесса Пуассона справедливо следующее утверждение.

Рис. 30.8. Наложение трех точечных процессов.

Если имеется сумма конечного числа взаимонезависимых пуассоновских потоков с интенсивностями , соответственно, то суммарный поток является пуассоновским с параметром интенсивности .

Доказательство этого утверждения простое и базируется на том, что для суммарного потока остаются в силе три определяющих условия пуассоновского процесса . Действительно, так как отдельные процессы взаимонезависимы, то

Аналогично,

(30.83)

Наконец, поскольку значения для разных взаимонезависимы, когда интервалы не пересекаются, то, значения при разных неперекрывающихся интервалах будут также независимыми.

Из методики доказательства следует, что сформулированное утверждение останется справедливым и для неоднородных пуассоновских потоков когда функции интенсивности зависят от времени . В этом случае .

Допустим, что интервал времени от начала отсчета до первого события в суммарном потоке имеет плотность вероятности . Обозначим аналогичные времена (рис. 30.8) для частных процессов соответственно через , так что . Эти времена независимо распределены с плотностями вероятностей . Рассмотрим совместное распределение величины и номера потока, которому она принадлежит. Пусть известно, что . Вероятность того, что это значение происходит от первого потока , равна

Видно, что полученное выражение не содержит . Поэтому систему независимых пуассоновских потоков можно трактовать следующим образом. Интервалы между последовательными событиями суммарного потока независимы и одинаково распределены с плот ностью вероятности . Затем события привязываются к частным потокам случайным образом с постоянными вероятностями соответственно.

Приведем конкретную интерпретацию этого результата. Допустим, что электронные лампы имеют два типа отказов. Пусть немедленно после отказа лампа заменяется новой. Тогда следующие две трактовки будут эквивалентными: 1) отказы двух типов осуществляются как независимые пуассоновские потоки с интенсивностями и ; 2) отказы происходят по пуассоновскому закону с интенсивностью и вероятность того, что какой-либо частный отказ принадлежит к первому типу, равна независимо от других отказов.

Рассмотрим теперь другое преобразование — независимое смещение точек. Пусть — случайная последовательность частиц на прямой, образующих при стационарный пуассоновский поток. Координата каждой частицы меняется случайным образом во времени . Величины смещений за время от 0 до , равные , предполагаются взаимонезависимыми и одинаково распределенными случайными величинами. Именно такой процесс изменения координат назван выше независимым смещением. В данном случае справедлива следующая теорема.

Если в начальный момент времени последовательность координат системы частиц образует стационарный пуассоновский поток с интенсивностью , то при независимом смещении последовательность координат частиц в момент времени также образует стационарный пуассоновский поток с интенсивностью .

Опишем кратко две операции «разрежения» точек и приведем для них окончательные результаты.

Пусть последовательность координат точек образует пуассоновский поток. Будем говорить, что эта последовательность подвергается операции случайного «разрежения», если каждая точка может быть исключена из дальнейшего рассмотрения с вероятностью , где — вероятность исключения. Предполагается, что операция исключения производится для каждой точки независимо, причем дается только одна попытка исключить каждую точку. После применения этой операции поток оставшихся точек будет более редким. Справедлива следующая теорема.

Если к последовательности координат точек , образующих пуассоновский поток с интенсивностью , применяется операция случайного разрежения с вероятностью исключения , то поток оставшихся точек является пуассоновским с интенсивностью .

Доказательство этого утверждения легко получить путем проверки трех определяющих свойств процесса Пуассона. Действительно, операция разрежения проводится одинаково при любом значении , что обеспечивает свойство стационарности результирующего потока. Ординарность сохраняется очевидным образом, так как при разрежении количество точек может только уменьшиться. Отсутствие последействия сохраняется вследствие того, что исключение точек происходит каждый раз независимо от предыдущих результатов.

Предположим теперь, что разрежение точек в пуассоновском процессе с параметром интенсивности осуществляется по-другому. Допустим, что начиная с некоторого начального момента времени, все точки потока перенумерованы в порядке их появления во времени. Исключим все точки, кроме тех номера которых кратны некоторому целому числу . На рис 30.9 изображен частный пример для . В результате такого исключения получим новый точечный процесс . Временные интервалы между последовательными событиями нового процесса равны разности между моментами появления -го и -го событий исходного пуассоновского потока. Поэтому плотность вероятности межинтервальных времен процесса будет определяться формулой Эрланга (35):

Естественно, что при (нет исключения точек) отсюда следует хорошо известный экспоненциальный закон.

Среднее значение и дисперсия временных интервалов между соседними событиями в потоке Эрланга равны

(30.86)

Укажем один важный результат, который имеет математическое доказательство. Оказывается, что при сложении большого числа взаимонезависимых случайных потоков (не обязательно пуассоновских) малой интенсивности суммарный поток близок к пуассоновскому.

Рис. 30.3, Иллюорация формирования потока Эрланга из пуассоновского потока при .

Ситуации, в которых случайный поток можно рассматривать как сумму большого числа независимых слагаемых потоков, встречаются довольно часто. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, можно представить как сумму потоков вызовов отдельных абонентов. Поток отказов в сложной системе можно представить в виде суммы потоков отказов отдельных узлов, составляющих данную систему.

В заключение приведем два факта, относящихся к закону Пуассона (12).

1. Д. А. Райковым была доказана следующая теорема [134]. Если сумма независимых случайных величин распределена по закону Пуассона, то каждая из величин должна быть пуассоновски распределенной.

2. Найдем закон распределения разности двух независимых пуассоновски распределенных случайных величин. Пусть случайные величины и независимы с законами распределения Пуассона

(30.87)

Найдем закон распределения разности .

Запишем физически очевидное соотношение

Воспользуемся разложением функции Бесселя в ряд [10]

т.е

где — функция Бесссля -го порядка от мнимого аргумента.

Полагая здесь , убеждаемся, что ряд в (88) можно заменить на

Таким образом, получим

Эту формулу можно представить в другом виде:

(30.00)

На этом мы закончим здесь рассмотрение простейших обобщений случайного точечного процесса Пуассона и простых операций с ним. Следующим важным обобщением являются процессы восстановления, в которых временные интервалы между последовательными событиями считаются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с произвольным (а не обязательно с экспоненциальным) распределением. В § 32 будет приведено дальнейшее обобщение — профильтрованный пуассоновский процесс.