23. Интегродифференциальные уравнении Колмогорова—Феллера

Рассмотрим одномерный дискретно-непрерывный марковский процесс и получим уравнения для плотностей вероятностей, аналогичные уравнениям Колмогорова для непрерывных (диффузионных) марковских процессов.

Начнем с простейшего случая — чисто разрывного (скачкообразного) процесса. Предположим, что поведение системы описывается следующей схемой. Пусть за малый промежуток времени случайный процесс с вероятностью сохраняет прежнее значение и с вероятностью переходит из в , где . При этом, конечно, предполагается, что

так как сумма вероятностей сохранения и смены состояния должна равняться единице.

Ясно, что рассматриваемый процесс будет марковским. Чтобы получить уравнение для плотности вероятности , воспользуемся законом сохранения вероятности (11.25), записав его несколько иначе

где и — приходящий и уходящий потоки изображающих точек в элементе фазового пространства за малый промежуток времени .

Запишем выражения для этих потоков. Вероятность того, что изображающая точка находится в интервале , равна , а вероятность того, что она выйдет из этого интервала за время , равна (рис. 23.1). Поэтому

Выражение для потока получим путем следующих рассуждений. Вероятность того, что изображающая точка находится в каком-либо малом интервале (рис. 23.1), равна , а вероятность ее перехода в интервал за малый промежуток времени равна . Поэтому поток вероятности за малое время в интервал из произвольно взятого элементарного интервал равен

Общий поток в интервал с разных уровней будет определяться интегралом от этого выражения по всем возможным значениям :

Подставим (3) и (4) в (2), поделим обе части равенства на и затем перейдем к пределу при . В результате для рассматриваемого скачкообразного процесса получим окончательное интег-родифференциальное уравнение

Рис. 23.1. К вычислению потока вероятности.

Если рассматривать не только скачки, но также и непрерывное изменение процесса , то в правую часть равенства (2) нужно добавить поток из-за непрерывного изменения , где определено формулой (11.23). Следовательно, для дискретно-непрерывного процесса получим следующее интегродифференциальное уравнение

Уравнения (5) и (6), определяющие одномерные плотности вероятностей соответственно скачкообразного и дискретно-непрерывного марковских процессов, называются уравнениями Колмогорова — Феллера [1,92].

Если начальная плотность вероятности задана в виде дельта-функции: , то уравнения (5) и (6) определяют плотность вероятности перехода.

Если существует стационарная плотность вероятности и отдельные коэффициенты уравнения (6) не зависят явно от времени, то, полагая , для получим более простое интегро-дифференциальное уравнение

Основное уравнение (6) может быть обобщено на многомерные дискретно-непрерывные марковские процессы. В частности, применительно к двухкомпонентному марковскому процессу оно принимает вид

где

и функция имеет прежний смысл.

Известно, что рецептурных методов решения интегродифференциальных уравнений нет. Поэтому задача нахождения даже стационарного решения уравнения Колмогорова — Феллера вида (6а), как правило, оказывается довольно сложной, а в более общих случаях и вообще неразрешимой (см., например, пример 2 на с. 290).

Рассмотрим два конкретных примера.

Пример 1. Воздействие пуассоноеских дельта-импульсов на интегрирующую цепочку RC [93]. Предположим, что нас интересует плотность вероятности для напряжения на конденсаторе (рис. 23.2), когда на вход интегрирующей цепочки RC воздействует случайный импульсный процесс , где - дельта-функция, — момент появления импульса.

Рис. 23.2. Воздействие пуассоновскмх дельта-импульсов на цепочку .

«Амплитуды» импульсов считаются взаимонезависимыми случайными величинами с плотностью вероятности ; моменты появления импульсов статистически не зависят от амплитуд и описываются законом Пуассона: вероятность появления импульсов в интервале времени равна

где — параметр пуассоиовского закона (среднее число импульсов в единицу времени).

Дифференциальное уравнение, определяющее напряжение на конденсаторе, имеет вид

Пусть начальное напряжение на конденсаторе равно при . Записываем общее решение этого линейного уравнения

где — число импульсов, появившихся до момента времени включительно.

Характер изменения процесса во времени показан на рис. 23.2. вертикальными линиями. Между дельта-импульсами происходит плавное уменьшение напряжения , а в момент появления очередного импульса с амплитудой напряжение скачком увеличивается на величину .

Плавный характер изменения напряжения между импульсами описывается уравнением . Можно показать (см. §15, 19), что коэффициенты сноса и диффузии для этого уравнения равны: .

Возьмем малый интервал времени . Согласно (8) вероятность того, что внутри эгого интервала окажется импульс, равна . Если «остаточное» напряжение на конденсаторе в момент появления импульса равно , то для того, чтобы напряжение оказалось в «окне» , импульс должен иметь амплитуду, заключенную в интервале , вероятность появления импульса с такими значениями амплитуды равна . Поэтому применительно к нашему случаю

По формуле (1) находим

С учетом найденных выражений уравнение Колмогорова — Феллера (6) для рассматриваемого примера принимает простой вид

Отметим, что для линейного дифференциального уравнения функции находится просто, так как всегда можно записать решение типа (9) Иначе обстоит дело в случае нелинейных систем. Определение функции для нелинейных систем в большинстве случаев оказывается затруднительным (см. с. 293).

Решим интегроднфференциальное уравнение (11) при помощи преобразования Фурье. С этой целью введем характеристические функции

(23.12)

Умножив обе части уравнения (11) на и проинтегрировав по X в бесконечных пределах, получим следующее дифференциальное уравнение в частных производных для характеристической функции в :

Положим

(23.14)

Тогда из (13) имеем

(23.15)

Общее решение этого неоднородного уравнения можно искать в виде суммы частного решения уравнения (15) и общего решения однородного уравнения

(23.16)

Допуская существование стационарного распределения, возьмем в качестве частного решения уравнения (15) функцию , соответствующую стационарному состоянию и потому не зависящую от времени. Полагая в (15) , запишем решение

Из первой формулы (12) и равенства (14) следует, что всегда (в том числе и при ) выполняется равенство . Поэтому и

(23.17)

При помощи замены переменной нетрудно убедиться, что общим решением уравнения (16) является произвольная функция :

(23.18)

На основании (17) и (18) записываем общее решение уравнения

(23.19)

Конкретный вид функции определяется начальным условием. Действительно, согласно (14) и (12) «начальная» функция задается начальной плотностью вероятности . В частности, если , то . При этом решение (18) дает характеристическую функцию плотности вероятности перехода. Полагая в (19) , находим

(23.20)

Таким образом приходим к общему решению уравнения (14)

Согласно (14) теперь можем записать выражение для характеристической функции

Подставив сюда выражение (17), получим

Перейдем здесь к новой переменной интегрирования согласно равенству . Тогда получим

(23.23)

где

Запишем окончательные выражения для стационарной плотности вероятности и двумерной плотности вероятности интересующего нас процесса . Выше указывалось, что при дельтообразном начальном условии выражение (23) дает характеристическую функцию плотности вероятности перехода . Беря обратное преобразование от (23), можем написать

Заметим, что в данном случае

Следовательно,

(23.26)

Используя обозначение

(23.27)

и подставив (26) в (25), получим

(23.28)

Если задана произвольная начальная плотность вероятности , то одномерная плотность вероятности процесса находится по формуле

Отсюда видно, что при стремится к пределу, являющемуся стационарной плотностью вероятности , которая не зависит от начального распределения

(23.30)

Воспользовавшись выражениями (12) и (27), запишем окончательное выражение для стационарной плотности вероятности

(23.31)

Если в качестве начальной плотности вероятности взять стационарную плотность вероятности , то процесс при будет стационарным. При этом двумерная плотность вероятности равна

(23.32)

Из (31) видно, что даже в рассматриваемом простейшем частном примере выражение для плотности вероятности оказывается довольно сложным. Получим более простое выражение для плотности вероятности в виде ряда Эджворта [30, 48] в частном случае при , т. е. . Как следует из (29), теперь

(23.33)

причем согласно (27) является характеристической функцией. Ее всегда можно записать в виде ряда [30, 48]

(23.34)

где — семиинварианты (кумулянты) процесса .

Представим характеристическую функцию амплитуд пуассонов-ских импульсов в виде ряда по моментам

(23.35)

где — начальный момент амплитуды импульсов. Подставив (35) в (24) и выполнив интегрирование, получим, что в формуле (34) семиинварианты равны

(23.36)

Здесь через обозначены семиинварианты процесса в стационарном состоянии, т. е. при .

Введем вместо нормированный процесс

который имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию, равную единице. Для процесса семиинварианты равны

(23.38)

Аналогично (34) характеристическую функцию нормированного процесса можно записать в виде

(23.39)

Если объединить члены одного порядка относительно , то для плотности вероятности, соответствующей характеристической функции (39), получим ряд Эджворта

В стационарном состоянии (при ) эта формула упрощается

(23.41)

где семиинварианты , определены формулой (38).

В формуле (41) экспоненциальный сомножитель быстро убывает с ростом и значения плотности вероятности при больших оказываются малыми. Поэтому плотность вероятности будет близка к нормальной, если выполняется неравенство

Обычно здесь коэффициент при , определяемый видом плотности вероятности амплитуд пуассоновских импульсов, имеет порядок единицы. При этом условие близости плотности вероятности (41) к нормальной сводится к выполнению неравенства

Это неравенство говорит о том, что стационарная плотность вероятности «проинтегрированных» пуассоновских дельта-импульсов будет близка к нормальной плотности (имеет место нормализация), если за интервал времени, равный постоянной времени системы , на нее в среднем воздействует большое число импульсов. Этот результат носит общий характер и относится не только лишь к рассмотренному частному примеру. Его следует рассматривать как следствие центральной предельной теоремы теории вероятностей.

Поясним это на рассмотренном примере. Из (3) видно, что каждый из дельта-импульсов создает на выходе интегрирующей цепочки экспоненциальный импульс . Известно, что для линейных систем применим принцип суперпозиции. Поэтому результирующее напряжение по истечении от начала работы достаточно большого времени является суммой всех таких экспоненциальных импульсов, появившихся до этого момента времени (рис. 23.2). При выполнении неравенства эта сумма будет содержать большое число примерно одинаковых экспоненциальных импульсов, не успевших еще «затухнуть» к указанному моменту времени, причем амплитуды и моменты появления отдельных импульсов независимы. Эти условия как раз и обеспечивают применимость центральной предельной теоремы.

Пример 2. Воздействие пуассоновских дельта-импульсов на колебательный контур. Пусть на колебательный контур воздействуют пуассоновские импульсы, описанные в примере 1 (с. 284), и нас интересует ток , протекающий через индуктивность :

(23.43)

Обозначим . Тогда вместо одного дифференциального уравнения второго порядка (43) получим систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка:

Двухкомпонентнмй процесс является марковским. По формулам (19.39) находим коэффициенты и , учитывающие непрерывный характер изменения процесса :

(23.45)

Из первого уравнения (44) следует, что координата не испытывает скачкообразных изменений. Для описания характера скачков по координате рассмотрим уравнение

Возьмем малый интервал времени . Вероятность того, что внутри этого интервала окажется импульс , равна . При наличии такого импульса координата получает скачкообразное приращение

Следовательно, если «остаточное» значение координаты к моменту появления очередного импульса равно , то для того чтобы координата оказалось в окне , воздействующий импульс должен иметь амплитуду, заключенную в интервале . Вероятность появления импульса с такими значениями амплитуды равна . Поэтому для рассматриваемого примера

Здесь дельта-функция отражает тот факт, что по координате скачков нет. Теперь находим

(23.46)

С учетом найденных выражений (44) и (46) записываем уравнение Колмогорова — Феллера (7) применительно к нашему примеру

(23.47)

В том частном случае, когда амплитуды всех импульсов одинаковы, т. е. , интегродифференциальное уравнение (47) переходит в дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом по :

Попытка нахождения даже стационарного решения этого уравнения наталкивается на математические трудности, и сформулированная задача решается гораздо легче путем вычисления моментов случайных пуассоновских импульсов (см. пример 1, § 32), получающихся на выходе колебательного контура [10, 30, 94-95].