Приложение II. Основные теоремы о производящей функции

Пусть имеется последовательность действительных чисел . Степенной ряд

можно рассматривать как преобразование, ставящее в соответствие последовательности функцию . Если ряд (1) сходится в каком-либо интервале , то функция называется производящей функцией последовательности .

Рассмотрим случайный процесс , который принимает целочисленные неотрицательные значения, и последовательность вероятностей , где . Параметр может быть дискретным или непрерывным. Пусть

является производящей функцией вероятностей . Так как ограничена для всех и для всех , то сравнение с геометрической прогрессией показывает, что ряд (2) сходится равномерно по по крайней мере при .

Приведем без доказательства основные теоремы, позволяющие продуктивно использовать производящие функции для исследования вероятностных свойств дискретных случайных процессов [5].

Теорема 1. Математическое ожидание случайного процесса определяется формулой

Теорема 2. Если , то

и дисперсия

Теорема 3. Производящая функция суммы независимых случайных величин равна произведению производящих функций, связанных с каждой случайной величиной.

Теорема 4. Предположим, что является рациональной функцией от :

где и являются многочленами от , причем степень многочлена меньше, чем степень многочлена .

Пусть — различные корни многочлена (действительные или комплексные). Тогда может быть разложена на простые дроби

где — функции времени, — степень многочлена .

Отметим, что производящая функция является дискретным аналогом характеристической функции для непрерывных процессов.