5. Анализ цифровых систем ФАП первого порядка

Основные принципы работы цифровых систем ФЛП первого порядка

В современных радиотехнических системах находят все более широкое применение цифровые схемы фазовой автоподстройки (ФАП). Это обусловлено возможностями микроминиатюризации соответствующей аппаратуры, низкой стоимостью элементов цифровых систем и их высокой надежностью, высокой степенью стандартизации. Общая задача исследования статистической динамики цифровых систем связана с анализом стохастических разностных уравнений. При этом весьма эффективным оказывается применение аппарата теории цепей Маркова.

Рассмотрим цифровую систему ФАП первого порядка [22], структурная схема которой приведена на рис. 5.1. Предположим, что на вход системы действует аддитивная смесь полезного сигнала и шума , т. е. принятое колебание имеет вид

Здесь — сигнал прямоугольной формы с постоянными и известными амплитудой и периодом , — нормальный белый шум с известными статистическими характеристиками

Принятое колебание через узкополосный фильтр (Ф) с полосой пропускания поступает на вход квантователя (К). Предполагается, что сигнал проходит через фильтр без искажений. В квантователе через равные промежутки времени берутся выборки смеси полезного сигнала и шума.

По теореме отсчетов частота взятия выборок для адекватного представления сигнала должна быть равна , т. е. за один период сигнала должно браться менее отсчетов.

Выборки смеси полезного сигнала и шума преобразуются в цифровую форму в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Предполагается, что ошибки преобразования аналог — цифра пренебрежимо малы за счет использования достаточно большого количества двоичных разрядов для представления чисел.

Рис. 5.1. Структурная схема цифровой ФАП первого порядка.

Рис. 5.2. Ошибка синхронизации в случае двух выборок за за период сигнала прямоугольной формы.

Преобразованные в цифровую форму выборки подаются на фазовый детектор (ФД), который представляет собой комбинацию селектора выборок перехода (СВП) и накопителя (Н). Селектор выборок перехода выделяет выборки, соответствующие оценкам моментов времени смены знака полезного сигнала. По определению, ошибка синхронизации равна интервалу времени между отрицательным переходом полезного сигнала и моментом взятия соответствующей выборки перехода. На рис. 5.2 ошибка синхронизации отрицательна и равна по абсолютной величине , т. е. оценочное значение момента времени отрицательного перехода отстает от истинного на . Отметим, что в отсутствие шумов сигнал ошибки, обозначенный на рис. 5.2 знаком и равный величине выборки отрицательного перехода, вырабатывает положительный сигнал управления. Если бы эта выборка бралась после истинного момента времени отрицательного перехода полезного сигнала, ее величина была бы отрицательна. Таким образом, знак сигнала на выходе селектора выборок перехода противоположен знаку ошибки синхронизации. Чтобы это свойство сохранялось, знак следующей выборки, т. е. выборки положительного перехода (на рис. 5.2 обозначена ) следует заменить на противоположный, так как только в этом случае будет вырабатываться правильный сигнал управления.

Наличие аддитивного шума вызывает ошибки синхронизации, величина которых зависит от отношения сигнал/шум в выборке.

Чтобы уменьшить влияние шума на точность синхронизации, коррекция положения выборок перехода на оси времени производится после суммирования в накопителе m выборок. Если подстройка производится через каждые периодов сигнала, т. е. через интервал времени и для формирования сигнала управления используются все выборки переходов, то .

Рис. 5.3. К принципу изменения фазы в процессе деления частоты.

Сумма m выборок перехода жестко ограничивается в знаковом детекторе (ЗД). Сигнал на выходе знакового детектора появляется один раз за время Т и равен знаку суммы m выборок перехода, накопленных к этому моменту времени. Этот сигнал подается на схему добавления или исключения импульсов (СДИИ), которая обычно используется в устройствах фазирования без непосредственного воздействия на местный генератор (Г). В подобных устройствах фаза подстраивается в промежуточном преобразователе, через который проходят импульсы от задающего генератора.

В качестве промежуточного преобразователя чаще всего используется делитель частоты (Д), который в нашем случае осуществляет деление тактовой частоты генератора до частоты взятия отсчетов в квантователе.

Фазирующие устройства с делителем частоты можно реализовать целиком на цифровых элементах, что упрощает их изготовление, настройку и эксплуатацию. Часто такие устройства называют устройствами с дискретным управлением (или дискретными устройствами фазирования).

Принцип изменения фазы в процессе деления частоты поясняет рис. 5.3. Генератор (Г) вырабатывает тактовую последовательность импульсов с частотой в R раз больше частоты взятия отсчетов , где — коэффициент деления делителя частоты. Далее эта последовательность импульсов делится на , например, делителем в виде цепочки из двоичных счетчиков (рис. 5.3, а). В нашем случае . Процесс деления в отсутствие управляющего сигнала со знакового детектора иллюстрируется временной диаграммой, представленной на рис. 5.3, б. Здесь изображена исходная последовательность импульсов с тактовой частотой и получаемая на выходе делителя последовательность с частотой . Коэффициент деления взят . При этом на выход делителя подается каждый восьмой импульс тактовой последовательности.

Если на вход делителя подать дополнительный импульс через схему добавления или исключения импульсов, то фаза выходной последовательности сместится в сторону опережения на заданную величину (рис. 5.3, в). Заметим, что дополнительные импульсы нужно вырабатывать при отрицательных сигналах управления и они не должны совпадать по времени с импульсами задающего генератора. Если же один из тактовых импульсов, подаваемых на делитель частоты, исключить (положительный сигнал управления), то фаза выходных импульсов сместится на ту же величину в сторону отставания (рис. 5.3, г).

Таким образом, путем добавления или исключения импульсов в тактовой последовательности можно изменять в нужную сторону фазу последовательности импульсов, используемых для управления квантователем, т. е. изменять положение выборок смеси сигнала а шума на заданную величину . Очевидно, что при заданной частоте взятия отсчетов можно обеспечить любую необходимую величину шага коррекции путем изменения частоты задающего генератора.

Модель случайных блужданий

Из приведенного описания основных принципов работы цифровых систем ФАП первого порядка следует, что ошибка синхронизации изменяется через время на заданную часть периода сигнала .

Отсчеты белого шума, пропущенного через идеальный фильтр с полосой пропускания и квантованного по времени со скоростью дают статистически независимые выборки. Так как изменение ошибки синхронизации определяется суммой m этих статистически независимых выборок, то вероятности изменения ошибки на величину для сигнала прямоугольной формы не зависят от положения выборок на оси времени. Определив «состояние ошибки» как полную ошибку синхронизации непосредственно перед коррекцией, можно заметить, что в этом случае статистическая динамика цифровой системы ФАП первого порядка описывается цепью Маркова со счетным числом состояний.

Рис. 5.4. Диаграмма состояний ошибки синхронизации по периоду сигнале прямоугольной формы.

На рис. 5.4 показаны возможные состояния ошибки по периоду сигнала прямоугольной формы. Ошибка синхронизации измеряется по отношению к моменту отрицательного перехода полезного сигнала. Все состояния цепи разделяются равными долями одного периода сигнала и, следовательно, существует возможных состояний в одном периоде.

В отсутствие шума в цепи обратной связи всегда будет вырабатываться правильный сигнал управления и система будет совершать последовательные переходы из состояния в состояние и обратно, т. е. ошибка синхронизации будет равна .

Выборки нормального белого шума (2), взятые со скоростью , являются нормально распределенными и имеют следующие статистические характеристики [30]:

Вычислим вероятность того, что в результате накопления m выборок перехода на выходе знакового детектора будет сформирован правильный сигнал управления, т. е. в результате последующей коррекции абсолютная величина ошибки синхронизации уменьшится на .

Для определенности положим, что система находится в одном из положительных состояний ошибки (рис. 5.5). Тогда искомая вероятность равна

Сумма независимых нормальных случайных величин будет распределена по нормальному закону со следующими характеристиками

рис. 5.5. Модель случайных блужданий ошибки синхронизации за один период полезного сигнала.

Таким образом, можно написать

где — отношение сигнал/шум на выходе накопителя, — интеграл вероятности.

Вероятность появления неправильного сигнала управления, очевидно, равна

Нетрудно убедиться, что аналогичные выражения получатся, если рассматривать отрицательные состояния ошибки. Заметим, что для отрицательного полупериода полезного сигнала правильный сигнал управления вызывает вычитание из общей ошибки синхронизации величины , т. е. переход системы из состояния в состояние . Для положительного полупериода полезного сигнала правильный сигнал управления приводит к прибавлению величины , т. е. переходу из состояния в состояние .

В этом смысле модель случайных блужданий, описывающая статистическую динамику цифровой системы ФАП первого порядка, существенно отличается от модели простых одномерных блужданий, рассмотренных в § 4. На рис. 5.5 схематически показаны возможные изменения состояния ошибки синхронизации за период полезного сигнала с соответствующими вероятностями перехода.