Уравнение для моментов распределения времени до срыва синхронизации в обычных системах ФАП второго порядка

Рассмотренная выше оптимальная система ФАП была синтезирована в предположении, что априорное поведение случайной фазы полезного сигнала, его параметры и отношение сигнал/шум точно известны. Одним из следствий такого полного априорного знания является, в частности, отсутствие средней расстройки по частоте у полезного сигнала и подстраиваемого генератора оптимальной системы ФАП.

Между тем, на практике такой полной априорной информации, как правило, не имеется. В таких случаях создаются по существу неоптимальные системы ФАП. Кроме того, даже при наличии полной априорной информации в ряде случаев приходится использовать неоптимальные схемы, так как оптимальные не удается практически полностью реализовать. Поэтому исследование срыва синхронизации в неоптимальных системах ФАП второго порядка представляет значительный интерес тем более, что подобные устройства синхронизации находят широкое применение в системах измерения параметров орбит ИСЗ, телевидении, когерентной радиолокации, некоторых видах фазовой радионавигации и др. [82].

Исследование неоптимальных систем ФАП представляется важным еще и потому, что с его помощью можно определить степень критичности синтезированных оптимальных схем к изменениям параметров входного сигнала. Последнее обстоятельство связано с тем, что реализованные оптимальные схемы работают, как правило, в условиях, несколько отличающихся от расчетных. Очевидно, что эти отклонения не должны приводить к значительному ухудшению качества работы системы.

Пусть на вход системы ФАП (рис. 28.2) поступает аддитивная смесь полезного сигнала со случайной фазой и белого шума с известтными статистическими характеристиками.

Сигнал на выходе подстраиваемого генератора имеет вид

где

— средняя частота колебания подстраеваемого в отсутствие управляющего напряжения.

Рис. 28.2. Структурная схема типовой системы ФАП.

Обозначим

Параметр характеризует среднюю расстройку частот полезного сигнала и подстраиваемого генератора; — разность фаз. Отметим, что совпадает с обозначением, принятым в предыдущем разделе, только при и т. е. при отсутствии собственных флуктуации фазы подстраиваемого генератора и средней расстройки по частоте.

При анализе рассматриваемой системы ФАП сделаем обычные допущения:

— все звенья системы ФАП, за исключением фильтра нижних частот, являются безынерционными;

— фазовый детектор иредстааляет собой перемножающее устройство, т. е. имеет синусоидальную характеристику;

— характеристика управляющего элемента в пределах рабочего участка линейна;

— амплитудными флуктуациями сигналов можно пренебречь.

В этом случае поведение системы ФАП описывается следующим дифференциальным уравнением [79]

(28.30)

где — сигнал на выходе фильтра нижних частот с коэффициентом передачи .

Аналогично предыдущему, произведение принятого колебания и сигнала на выходе подстраиваемого генератора можно представить в виде

С учетом последнего соотношения из (30) получим

где — полоса удержания рассматриваемой схемы ФАП

(28.32)

Пусть фильтр нижних частот представляет собой пропорционально интегрирующий фильтр, для которого

Рис 28.3. Возможная реализация пропорционально интегрирующего выстрела.

Возможная реализация подобного фильтра показана на рис. 28.3. Отметим, что оценочное значение огклоиспии частоты полезного сигнала от известного значения в этом случае пропорционально напряжению на конденсаторе [121], причем

(28.34)

Для , как нетрудно убедиться, справедливо дифференциальное уравнение

Собственные флуктуации фазы подстраиваемого генератора за счет естественных нестабнльностей согласно [76] описываются стохастическим дифференциальным уравнением

где — нормальный белый шум с известными статистическими характеристиками .

Относительно флуктуации фазы полезного сигнала предположим, что они складываются из двух независимых случайных процессов

Здесь — недифференцируемая компонента флуктуации фазы полезного сигнала, поведение которой описывается стохастическим дифференциальным уравнением

(28.37)

где — нормальный белый шум с известными статистическими характеристиками. Компонента описывает естественные нестабильности фазы генератора передатчика и влияние распространения радиоволн через турбулентную среду. Отметим, что (36), (37) больше дифференцировать нельзя.

Другая компонента флуктуации фазы полезного сигнала предполагается дифференцируемой, т. е. ее первая производная имеет конечную дисперсию. Она описывает, например, флуктуации фазы полезного сигнала за счет эффекта Доплера. Обозначив , можно написать

(28.38)

где — некоторый случайный процесс с известными статистическими характеристиками.

Подставляя (36), (37) в (31), с учетом (38) получим

(28.39)

Если время корреляции процесса сравнимо или превышает характерные постоянные времени и , то для описания статистической динамики системы ФАП при помощи теории марковских процессов необходимо увеличить число измерений по сравнению с двумя координатами системы (39). Для процессов, имеющих дробно-рациональную спектральную плотность, это всегда возможно (см. 1551). Если время корреляции процесса много меньше постоянных времени и , то переход от (39) к стохастическим дифференциальным уравнениям может быть совершен без увеличения размерности по известным правилам [2] аналогично тому, как это сделано в [91] (см. § 20).

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением практически важного частного случая, когда , где представляет собой стационарный белый шум с известными статистическими характеристиками. При этом флуктуации фазы полезного сигнала будут описываться системой уравнений (1).

Обозначим

(28.40)

Из (34) следует, что представляет собой текущую разность частот полезного сигнала и подстраиваемого генератора. При обозначение (40) совпадает с принятым в предыдущем разделе.

Используя введенное обозначение , из системы (39) с учетом (35) получим

(28.41)

Система дифференциальных уравнений (41) полностью описывает статистическую динамику системы ФАП второго порядка с учетом естественных нестабильностей генераторов и флуктуации фазы полезного сигнала. Стохастические дифференциальные уравнения (41) определяют двумерный марковский процесс , у которого коэффициенты уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова задаются соотношениями

Сопоставляя систему стохастических дифференциальных уравнений (41) с (12), заметим, что рассмотрение оптимальных и неоптимальных систем ФАП второго порядка можно объединить в общий случай, когда исследование срыва синхронизации сводится к решению задачи первого достижения границ области двумерным марковским процессом , который определяется системой стохастических дифференциальных уравнений .

При и из (41) следуют уравнения (12), в которых параметры и задаются соотношениями (11).

При исследовании типовой системы ФАП предполагается, что постоянная времени фильтра нижних частот равна , где — ширина спектра флуктуации частоты полезного сигнала. Остальные параметры неоитималыюй системы ФАП обычно выбираются на основании следующих соображений [80].

Чтобы оптимизировать переходный процесс по длительности и обеспечить отсутствие значительного перерегулирования, необходимо выполнить условие

(28.43)

Так как уменьшение параметра ведет не только к уменьшению шумовой ошибки системы, но и к сокращению полосы захватывания, а полоса захватывания не должна быть существенно меньше полосы удержания, то целесообразно ограничить величину . Обычно принимают

(28.44)

Шумовую ошибку (дисперсию ошибки по фазе) можно вычислить по формуле

Отметим, что соотношение (45) получено методом линеаризации и потому справедливо лишь при достаточно больших отношениях сигнал/шум.

Моменты распределения времени до срыва синхронизации можно найти из решения уравнения Понтрягина (14) с граничными условиями (16). Повторяя рассуждения предыдущего раздела, можно показать, что при или , отличных от нуля, это уравнение является эллиптическим. Относительно безразмерных функций в безразмерных переменных с учетом (42) оно примет вид

(28.47)

Здесь коэффициент характеризует интенсивность флуктуации фазы подстраиваемого генератора; — относительная средняя расстройка по частоте. Остальные параметры определяются аналогично предыдущему.

Для типовой системы ФАП второго порядка при фиксированных из (46) следует, что даже при моменты распределения времени до срыва слежения конечны. Их величина определяется интенсивностями флуктуации фазы и частоты.

Повторяя рассуждения предыдущего раздела с учетом (35) и (40), получим те же три случая начальных условий работы системы ФАП. При этом случайна и во всех случаях равномерно распределена . Для начального значения имеем:

1. — случайная величина, распределенная по нормальному закону с

(28.48)

2. — случайная величина, распределенная по нормальному закону с

(28.49)

3. .

После того так из уравнения (46) с граничными условиями (47) найдены двумерная зависимость , можно получить осредненные по случайным начальным значениям координат величины моментов для рассмотренных случаев начала работы систем ФАП.

Осредненное по случайной начальной ошибке по фазе значение -го момента распределения времени до срыва слежения определяется соотношением (25). Из этой формулы непосредственно следует решение задачи для случая 3. Для первых двух случаев начальных условий работы системы ФАП осредненные по случайной величине начальной расстройки по частоте значения среднего времени и стандартного отклонения времени до срыва слежения могут быть наедены по формулам

(28.50)

(28.51)

Здесь для соответствующего случая начала работы системы ФАП и

(28.52)

(28.53)

Из формул (52), (53) следует, что при увеличении отношения сигнал/шум осредненные в соответствии с (50), (51) значения среднего времени и стандартного отклонения времени до срыва синхронизации будут одинаковыми для разных случаев начала работы системы ФАП. Отметим также что обычно выполняются условия . При выполнении этих условий с вероятностью, близкой к единице, начальное значение рассогласования по частоте находится в пределах полосы удержания системы.

Поскольку аналитическое решение уравнения (46) с граничными условиями (47) получить не удается, будем искать решение численными методами.