Среднее время и дисперсия времени до срыва синхронизации в системах ФАП второго порядка

Описанный алгоритм численного решения дифференциального уравнения в частных производных был использован для вычисления среднего времени и дисперсии времени до срыва синхронизации в оптимальных и неоптимальных системах ФАП второго порядка. По формулам (59), (64)—(67) применительно к уравнению (46) с граничными условиями (47) была составлена программа для ЦВМ, которая позволяет найти безразмерные моменты и вычислить согласно (25), (50), (51) их усредненные по случайным начальным ошибкам по фазе и частоте значения.

При анализе срыва синхронизации в оптимальной системе ФАП второго порядка параметры и вычислялись согласно (20) по заданным значениям и . При этом в (46) принималось . Отсутствие средней расстройки частот полезного сигнала и подстраиваемого генератора приводит к тому, что в данном случае . В качестве иллюстрации на рис. 28.4 показана двумерная зависимость среднего времени до срыва синхронизации от начальных значений координат системы при и . Видно, что эта зависимость имеет довольно сложный характер, особенно при начальной расстройке по частоте, близкой к полосе удержания системы.

Некоторые результаты вычислений значений среднего времени и стандартного отклонения времени до срыва синхронизации в оптимальных системах ФАП второго порядка приведены в табл. 28.1-28.2. Вычисления проводились для различных коэффициентов интенсивности флуктуации фазы и частоты полезного сигнала и при разных отношениях сигнал/шум . В этих же таблицах даны оптимальные по критерию минимума среднего квадрата ошибки значения параметров системы ФАП, вычисленные по формулам (20), и осредненные в соответствии с (25), (50), (51) значения среднего времени и стандартного отклонения времени до срыва синхронизации .

Таблица 28.1

На рис. 28.5, 28.6 показаны зависимости среднего времени до срыва синхронизации от отношения сигнал/шум при различных значениях . Из данных таблиц 28.1, 28.2 и кривых на рис. 28.5, 28.6 следует, что при увеличении интенсивности фазовых или частотных флуктуации среднее время до срыва синхронизации в оптимальных системах ФАП второго порядка уменьшается. При отношениях сигнал/шум зависимость среднего времени до срыва синхронизации для рассмотренных интервалов изменения и , может быть аппроксимирована простой эмпирической формулой, так как в логарифмическом масштабе она имеет характер, близкий к линейному.

Таблица 28.2

Таким образом, пороговое отношение сигнал/шум, ниже которого среднее время до срыва синхронизации начинает резко убывать, можно принять равным .

Отметим, что согласно [123] это значение отношения сигнал/ шум совпадает с оценкой границы применимости метода гауссовой аппроксимации для сигнала с фазовой модуляцией. Этот результат служит качественным подтверждением вывода о том, что наблюдаемые отклонения апостериорного распределения от гауссового объясняются срывом слежения за фазой полезного сигнала.

Зависимость от отношения сигнал/шум стандартного отклонения времени до срыва синхронизации и осредненных значений моментов носит аналогичный характер. Осреднение по случайным начальным ошибкам по фазе и расстройкам по частоте приводит к заметному ухудшению характеристик срыва синхронизации. При этом обычно выполняются соотношения

(28.72)

Рис. 28.4. Зависимость среднего времени до срыва сиихроинзации в оптимальной системе ФАП второго порядха от начальных координат.

Для отношений сигнал/шум при и с достаточной для практики степенью точности выполняется равенство среднего времени и стандартного отклонения времени до срыва синхронизации в оптимальных системах ФАП второго порядка. С учетом асимптотических оценок [80, 124, 125] это означает, что при таких отношениях сигнал/шум вероятность срыва синхронизации в течение заданного времени, если в начальный момент система находилась в состоянии , может быть найдена по формуле

На рис. 28.7 показаны зависимости и от отношения сигнал/шум при и . Анализ кривых, представленных на рис. 28.5, 28.7, и данных табл. 23.1 — 28.2 показывает, что при увеличении интенсивности флуктуации частоты полезного сигнала значение отношении сигнал/шум, при котором увеличивается.

Рис. 28.5. Влияние интенсивности флуктуаций на среднее время до срыва синхронизации в оптимальной системе ФАП.

Рис. 28.6 Влияние интенсивности флуктуааций фазы на среднее время до срыва синхронизации в оптимальной системе ФАП.

С инженерной точностью это равенство выполняется для при и для при . На рис. 28.8 приведены нормированные к максимальному значению кривые зависимости среднего времени до срыва синхронизации, осредненного в соответствии с (25) по случайным начальным значениям ошибки по фазе, от начальной расстройки по частоте при и . По виду этих кривых может быть определена полоса захвата оптимальной системы ФАП второго порядка по критерию среднего времени до срыва синхронизации. При увеличении интенсивности флуктуации частоты полезного сигнала полоса захвата оптимальной системы ФАП уменьшается. Это означает, что для обеспечения требуемой надежности связи оптимальные приемники в ряде случаев должны включать специальные устройства поиска по частоте.

Таблица 28.3

При анализе срыва синхронизации в неоптимальной системе ФАП второго порядка среднее время и стандартное отклонение времени до срыва синхронизации вычислялось при заданных значениях для различных отношений сигнал/шум. При этом, так как согласно (46) характеристики срыва синхронизации зависят только от суммарной интенсивности собственных флуктуации фазы генераторов, значение можно отдельно не рассматривать.

Некоторые результаты расчетов среднего времени и стандартного отклонения времени до срыва синхронизации в типовых системах ФАП второго порядка и их осредненные в соответствии с различными условиями начала работы системы ФАП значения представлены в табл. 28.3 — 28.5. На рис. 28.9, 28.10 показаны зависимости среднего времени от отношения сигнал/шум при отсутствии средней расстройки генераторов по частоте для различных значений фазовых и частотных флуктуации и значения и в соответствии с (43), (44) принимались равными . Из приведенных таблиц и графиков следует, что при увеличении интенсивности флуктуации фазы и частоты среднее время и дисперсия времени до срыва синхронизации в системах ФАП второго порядка уменьшается. По сравнению с оптимальными системами ФАП в данном случае зависимость среднего времени до срыва синхронизации для рассмотренных интервалов изменения и может быть аппроксимирована простой эмпирической формулой с меньшей точностью и при более высоких отношениях сигнал/шум. При этом следует иметь в виду, что эти формулы будут применимы лишь до некоторых определенных значений отношения сигнал/шум, поскольку, как это следует из результатов п. 2, моменты распределения времени до срыва синхронизации при в данном случае конечны.

Рис. 28.7. Среднее время до срыва синхронизации в оптимальной системе ФАП.

Наличие средней расстройки частот полезного сигнала и подстраиваемого генератора приводит к тому, что . В качестве иллюстрации на рис. 28.11 и 28.12 представлены двумерные зависимости среднего времени до срыва синхронизации от начальных значений координат системы при .

Видно, что наличие средней расстройки частот приводит как к общему уменьшению значения среднего времени до срыва синхронизации, так и к заметной деформации двумерной поверхности, что еще больше усложняет возможность ее аналитической аппроксимации.

Рис. 28.8. Влияние начальной расстройки по частоте.

На рис. 28.13 построены графики зависимости среднего времени до срыва синхронизации из начального состояния от отношения сигнал/шум при для различных средних расстроек по частоте. Из приведенных кривых следует, что возрастание средней расстройки частот полезного сигнала и подстраиваемого генератора приводит к значительному ухудшению характеристик срыва синхронизации.

Зависимость среднего времени до срыва синхронизации от значения параметра m пропорционально интегрирующего фильтра при для различных отношений сигнал/шум характеризуют кривые на рис. 28.14. Из анализа приведенных кривых следует, что при заданных интенсивностих флуктуации фазы и частоты полезного сигнала и фиксированном параметре для каждого значения отношения сигнал/шум существует оптимальное значение параметра фильтра, при котором среднее время до срыва синхронизации максимально.

Это значение параметра m в общем случае не совпадает с (20) или (43), что объясняется другими критериями оптимизации, использованными при выводе этих формул.

Рис. 28.9. Среднее время до срыва синхронизации в системе ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром.

Рис. 28.10 Влияние интенсивности флуктуаций частоты сигнала.

Увеличение интенсивности флуктуации частоты полезного сигнала при неизменных значениях остальных параметров приводит к тому, что среднее время до срыва синхронизации становится очень мало и не может быть увеличено за счет повышения отношения сигнал/шум. На рис. 28.15 показаны зависимости среднего времени до срыва синхронизации от отношения сигнал/шум при для разных значений отношения ширины спектра флуктуации частоты к полосе удержания системы ФАП. Из анализа приведенных кривых следует, что при сильных флуктуациях частоты полезного сигнала для обеспечения заданных характеристик срыва синхронизации необходимо уменьшать параметр (увеличивать полосу удержания системы). Это, в свою очередь, приводит к уменьшению полосы захвата системы ФАП.

Анализ зависимостей среднего времени до срыва синхронизации в типовых системах ФАП второго порядка от отношения сигнал/шум (рис. 28.9, 28.10, 28.13 и 28.15) при различных значениях параметров системы и интенсивностей флуктуации фазы и частоты позволяет сделать вывод, что пороговые значения отношения сигнал/шум для рассмотренных случаев лежат в пределах . Особенно наглядно пороговый характер этой зависимости выражен на рис. 28.15.

рис. 28.11. Зависимость среднего времени до срыва синхронизации в отсутствие средней расстройки по частоте.

Рис. 28.12. Зависимость среднего времени до срыва синхронизацмм от начальной координат системы при наличии средней расстройки по частоте.

На получение результатов, приведенных в одной из табл. 28.1 — 28.5, затрачивалось около 20 мин машинного времени ЦВМ "БЭСМ-4". При расчетах полагалось , что обеспечивало точность вычислений до трех значащих цифр. Контроль точности вычислений проводился путем расчетов при меньших значениях шагов (до ). Отметим, что точность вычислений ухудшалась по мере увеличения отношении сигнал/шум и интенсивности флуктуации фазы и частоты полезного сигнала. Ухудшение точности вычислений по мере увеличения отношения сигнал/шум объясняется тем, что среднее время до срыва синхронизации с ростом отношении сигнал/шум начинает превышать время переходных процессов.

Рис. 28.13. Влияние расстройки по частоте на характеристики синхронизации.

Рис. 28.14. Зависимость среднего времени до срыва синхронизации от параметра пропорционально интегрирующего фильтра.

Рис. 28.15. Влияние отношения полосы удержания системы ФАП к ширине спектра флуктуационной частоты на характеристики синхронизации.

Это, в свою очередь, приводит к тому, что среднее время до срыва синхронизации все меньше зависит от начальных значений координат системы, т. е. функция становится постоянной почти во всей области , резко изменяясь на ее границе. Аналогичные эффекты имеют место и при увеличении интенсивности флуктуации полезного сигнала (см., например, рис. 28.8). Чтобы и в этих случаях получить приемлемую точность вычислений, необходимо уменьшать значение шагов и , т. е. увеличивать расходы машинного времени. Особенно резко время вычислений возрастает при уменьшении шага , что связано с увеличением размеров обращаемых матриц. Например, при контрольных расчетах со значениями шагов затраты машинного времени вычисления среднего и дисперсии времени до срыва синхронизации для заданного отношения сигнал/шум составляли около 40 мин.

В тех случаях, когда затраты машинного времени не позволяют получить точного решения уравнений (17), (46), оценка среднего времени до срыва синхронизации в системах ФАП второго порядка может быть найдена известными приближенными методами [80, 102], справедливыми при достаточно больших отношениях сигнал/шум. Следует иметь в виду, что эти методы не учитывают возможности потери слежения за частотой полезного сигнала в рассматриваемых системах ФАП и их применение до сих пор ограничивалось случаями отсутствия флуктуации фазы и частоты генераторов.