Среднее время до срыва синхронизации

Другой важной характеристикой качества работы цифровых систем ФАП первого порядка является среднее время до срыва синхронизации. Под срывом синхронизации обычно понимают первый выход величины ошибки синхронизации за заданные границы. В данном случае будем считать, что в системе ФАП происходит срыв синхронизации, если ошибка попадает в состояния или (рис. 5.4). Вычислим среднее время до срыва синхронизации при условии, что в первоначальный момент система находится в состоянии или .

Поскольку нас интересует время первого попадания в состояние или , то в соответствующей модели случайных блужданий в эти состояния необходимо поместить поглощающие экраны. Используя свойства симметрии (рис. 5.5) и независимости смены состояний, аналогично предыдущему разделу модель случайных блужданий с возможными состояниями можно свести к модели с состояниями, приведенной на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Диаграмма состояний ошибки при анализе среднего времени до срыва синхронизации.

Здесь состояние 1 является упругим жестким, а состояние — поглощающим.

Обозначим через среднее время достижения поглощающего состояния из первоначального состояния , нормированное к величине . Аналогично (4.32) значение для показанной на рис. 5.8 модели случайных блужданий может быть вычислено при помощи аппарата производящих функций, который одновременно позволяет получить вероятности срыва синхронизации из заданного состояния . Для определения только самих величин существует более простой способ, которым мы и воспользуемся ниже.

Если на первом шаге система из состояния с вероятностью q перейдет в соседнее состояние , то дальнейший процесс случайных блужданий будет продолжаться, как если бы начальное состояние было равно . Поэтому нормированное среднее время до срыва синхронизации при условии, что на первом шаге система перейдет в состояние , будет равно . Аналогично, если на первом шаге система перейдет в состояние , то это условное среднее принимает значение . Следовательно, среднее время должно удовлетворять разностному уравнению

с граничными условиями

Граничные условия (15) учитывают наличие поглощающего экрана при и упругого жесткого экрана при Непосредственной подстановкой можно показать, что общее решение уравнения (14) имеет вид

где А и В — произвольные постоянные.

Подставив (16) в (15) и проделав соответствующие выкладки, из (14) получим

Следовательно, искомое нормированное среднее время до срыва синхронизации из состояния определяются соотношением

где , так как соответствует отсутствию полезного сигнала.

Рис. 5.9. Среднее время до срыва синхронизации, нормированное к величине .

На рис. 5.9 приведены результаты расчетов по формуле (18) нормированного к величине , среднего времени до срыва синхронизации из состояния , в зависимости от отношения сигнал/шум и шага коррекции . Из представленных графиков следует, что величина очень быстро растет с ростом отношения сигнал/шум и уменьшением . Можно показать, что при величина асимптотически ведет себя как т. е. при заданном уменьшение приводит к увеличению среднего времени до срыва синхронизации.

Если предположить, что начальные состояния системы случайны со стационарными значениями вероятностей (8), то для характеристики качества синхронизации можно использовать безусловнее среднее время до срыва синхронизации

Очевидно, что имеет место неравенство , так как (18) дает максимальное значение (17) для всех .