Граничные условия

Для отыскания решения уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова (16), кроме начального условия, нужно указать еще и граничные условия. Граничные условия могут быть весьма разнообразными и определяются существом физической задачи [2, 4, 5].

При формулировке граничных условий и при решении уравнения может оказаться полезной следующая наглядная интерпретация уравнения (16). Будем трактовать вероятность как некую субстанцию.

В частности, плотность вероятности можно рассматривать как концентрацию (относитетьное число) частиц в точке в момент времени . Поток частиц вдоль оси складывается из систематического потока , где — локальная скорость систематического движения, и случайного (диффузионного) , т. е.

Из (16) и (23) следует, что уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова представляет собой уравнение непрерывности

выражающее сохранение числа частиц.

Взяв достаточно малые приращения и , уравнение (24) можно записать иначе:

или

Видно, что приращение вероятности за малый промежуток времени на элементе фазового пространства равно разности потоков за этот же промежуток времени : приходящего через левое сечение и выходящего через правое сечение (рис. 11.1).

Выражение (25) будем называть законом сохранения вероятности или законом непрерывности. Этот закон позволяет сравнительно легко записывать аналогии уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для различных классов смешанных (дискретно-непрерывных) процессов (см. § 23).

Если случайный процесс может принимать всевозможные значения от до , то уравнение (24) справедливо на всей прямой. В качестве граничных условий при этом следует брать условия на . Интегрируя (24) по от до и учитывая условие нормировки (17), получаем обязательно выполняющееся равенство

Однако, помимо этого равенства, обычно в практических задачах выполняются более сильные условия

которые можно назвать нулевыми граничными условиями.

В тех случаях, когда функция принимает ограниченные значения на интервале , уравнение (16) следует рассматривать лишь в этой области. При этом граничные условия нулевого потока имеют вид

(11.27)

Задание граничных условий в таком виде физически означает, что допускается частиц через границы . Можно считать, что в граничных точках поставлены отражающие экраны, и если частица достигает эти экраны зеркально отражается от них. Поэтому условие (27) можно кратко назвать условием отражающих границ (экранов). Роль отражающего экрана наглядно иллюстрируется рис. 11.2, где изображен один отражающий экран, расположенный в точке .

Рис. 11.1. К вычислению потока вероятности.

Рис. 11.2. Влияние отражающей гранииы на процесс и плотность вероятности.

Конечно, граничные условия могут быть заданы и в другом виде. Например, в граничных точках могут быть расположены поглощающие экраны: частица, достигшая экрана, поглощается им (т. е. остается там навсегда) и исключается из дальнейшего рассмотрения. Поэтому плотность вероятности должна обращаться в нуль на границах

(11.28)

Это есть условие поглощающих границ (экранов).

Влияние поглощающих экранов на поведение процесса и плотность вероятности схематически изображено на рис. 11.3, на котором показан один поглощающий экран в точке .

Возможен также более общий случай, когда в точках расположены упругие жесткие экраны: часть попавших на них частиц отражается, а остальные поглощаются. В этом случае граничные условия задаются линейной комбинацией условий поглощения и отражения.

Рис. 11.3. Влияние поглощающей границы на процесс и плотность вероятности.

Отметим, что при наличии отражающих или упругих жестких экранов, а также для описанных выше процессов со скачкообразным уходом с границы граничные условия проще задаются для обратного уравнения (2). Формулировка этих граничных условий и некоторые примеры рассматриваются в § 26.

Возможны также различные комбинации трех перечисленных выше границ. Например, в точке может быть расположен поглощающий экран, а в точке — отражающий и т. д. Иногда роль граничного условия играет условие периодичности плотности вероятности, например, вида .

Отметим специфическую особенность решения уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова (16) при наличии поглощающих границ или упругих жестких экранов. До тех пор, пока частица не коснулась экрана, ее статистическое поведение описывается уравнением (16). Однако с ростом времени все большее и большее число частиц будет «прилипать» к экрану и в пределе при практически все частицы окажутся поглощенными экраном, т. е. внутри и на границе имеем . Поэтому нельзя требовать, чтобы решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова (16) при наличии поглощающих границ (28) или упругих жестких экранов удовлетворяло условию нормировки (17).

Однородный диффузионный процесс называется регулярным, если с положительной вероятностью его траектория покидает любое множество вида или , выходя через внутренние точки или интервала . Если это происходит с вероятностью единица, процесс называется возвратным. Диффузионный процесс будет регулярным, если коэффициент диффузии не обращается в нуль на интервале .

Характер границы целиком определяется локальными характеристиками марковского процесса . Введем постоянные

(11.29)

Граница , в зависимости от значений постоянных :

1) естественной, если ;

2) притягивающей, если ;

3) захватывающей, если ;

4) регулярной, если .

Граничные условия нужно ставить лишь на захватывающей и регулярной границах, а естественные и притягивающие границы являются недостижимыми. На регулярной границе можно задавать все указанные выше граничные условия, а на захватывающей границе лишь поглощение и скачкообразный уход с границы, так как уйти с нее непрерывным образом невозможно.

При правильно сформулированной задаче начальные и граничные условия однозначно определяют плотность вероятности как решение уравнения Фоккера—Планка- Колмогорова.