Тождество Вальд

Подставим в (26) значение . Так как второе слагаемое в правой части в этом случае будет равно нулю, получим

Выражение (30) называется тождеством Вальда [33] и широко используется в последовательном анализе. Кроме этого, оно позволяет в самом общем случае получить статистические характеристики случайных блужданий при наличии поглощающих экранов.

При выводе (30) предполагалось, что в результате подстановки значение остается конечным. Докажем этот факт, так как в противном случае такую подстановку делать нельзя. Предварительно остановимся на некоторых свойствах производящей функции , определяемой соотношением (18), и получим одно полезное неравенство.

Из свойств преобразования Лапласа следует, что среднее значение случайных величин равно

Поэтому, если мы построим график функции в зависимости от , то тангенс угла наклона кривой при будет равен . Кроме этого, кривая будет выпуклой вниз, так как вторая производная

положительна для любых действительных значений и при . Поэтому график для разных значений имеет вид, показанный на рис. 9.1. Отсюда следует, что имеет минимум в единственной точке имеет тот же знак, что и среднее значение случайных величин при . При этом выполняется соотношение

Очевидно, что для уравнения

значение всегда является одним из корней. Если , то второй действительный корень этого уравнения также имеет знак, совпадающий со знаком . При оба корня совпадают и равны нулю.

На основании свойств производящей функции для плотности вероятности неограниченных случайных блужданий в момент времени можно написать

Рис. 9.1. Производящая функция моментов общей модели случайных блужданий.

Тогда, для любого имеем

Для любых левая часть последнего неравенства не зависит от . Учитывая, что при , можно написать

Аналогично, для получим

Покажем теперь, что функция имеет конечное значение при . Действительно, для любого из (25) следует неравенство

С учетом оценки (33) отсюда имеем

Ряд в правой части последнего неравенства сходится при

Аналогично можно показать, что для любых функция остается конечной при выполнении условия (35). Так как в точке , функция имеет единственный минимум, то равенство (30) справедливо для любых значений , для которых . Отметим, что для задач с одним поглощающим экраном аналогичные соотношения могут быть получены предельным переходом при или .

Обозначим через и вероятности поглощения соответственно на верхнем и нижнем экранах. Тождество Вальда (30) может быть использовано для нахождения приближенных значений этих вероятностей. Действительно, так как события и с взаимно исключают друг друга, (30) можно записать в виде

где и означают операцию условного математического ожидания, например,

В том случае, когда , второй действительный корень уравнения (32) и из (36) следует

Если пренебречь явлениями вне границ экранов, то приближенно можно положить

Из (38) и (39) имеем

Используя тот факт, что вероятность поглощения на каком-либо экране за бесконечно большое время равна единице, т. е. , получим приближенные выражения для вероятностей поглощения на каждом из экранов в отдельности

При и, следовательно, из (40) путем предельного перехода при имеем

Напомним, что всюду предполагалось (см. (20) и далее), что . Из (41) следует, что приближенные значения вероятностей поглощения не зависят от конкретного вида плотности вероятности распределения одного скачка.

Используя ту же методику, можно получить приближенное выражение для производящей функции числа шагов до поглощения .

Из свойств функции следует, что уравнение имеет два действительных корня, обеспечивающих выполнение неравенства . Обозначим значения этих корней через и для них выполняются равенства . Полагая в (26) и , вместо (30) получим два уравнения

С учетом приближенных соотношений (39) из (42) следует

Определив из (43) значения и воспользовавшись соотношением

для производящей функции числа шагов до поглощения получим приближенное равенство

Так как левая часть равенства (30) зависит от , а справа стоит постоянная величина, то функцию, стоящую под знаком математического ожидания, можно разложить в ряд по степеням и приравнять нулю математические ожидания коэффициентов при соответствующих степенях . Эта операция эквивалентна дифференцированию по под знаком математического ожидания с последующей подстановкой .

Воспользуемся известным разложением характеристической функции [30]

где — кумулянты .

Подставляя (45) в (30), имеем

Приравнивая нулю математические ожидания коэффициентов разложения экспоненты при степенях и , получаем

Стедовательно, имеют место равенства

Для среднего числа шагов до поглощения из (46) и (47) получим соотношения

(9.47)

Так как , то из (40) получим приближеннее выражение для среднего числа шагов до поглощения

Формула (49) находит широкое применение в теории последовательного анализа.

Пример 4. Случайные блуждания по нормальному закону. Рассмотрим одномерные блуждания, когда случайные приращения координаты распределены по нормальному закону со средним значением и дисперсией , т. е.

В этом случае, как нетрудно убедиться, и для вероятности поглощения и из (40) следуют приближенные соотношения

Для среднего числа шагов до поглощения на основании (49) получим

При значения и определяются формулами (41) и (49).