Случайные блуждания между поглощающими экранами

При анализе простых дискретных блужданий между поглощающими экранами достаточно было рассмотреть поглощающие состояния в точках и , не обращая внимания на состояния, лежащие выше и ниже этих точек, поскольку частица заведомо попадала в эти состояния. В общем случае при определении поглощающих экранов следует учитывать возможность скачкообразного превышения координатой частицы заданных значений .

Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что все состояния, принадлежащие полубесконечным интервалам и , являются поглощающими. Таким образом, произведение числа шагов до поглощения на интервал между двумя скачками равно времени до первого выхода частицы за границы интервала . По-прежнему предполагается, что после поглощения движение частицы прекращается.

Последующие рассуждения будут проводиться в основном для непрерывных независимых случайных величин , имеющих плотность вероятности , для которой существует двустороннее преобразование Лапласа

Применение результатов, полученных при этих предположениях, для анализа характеристик случайных блужданий в случае дискретных случайных величин будет проиллюстрировано на конкретных примерах. Отметим, что в общем случае функция может быть определена как двустороннее преобразование Лапласа—Стилтьеса от функции распределения , т. е.

В дальнейшем по аналогии с определением производящей функции вероятностей (4.14) будем говорить, что выражения (18) и (19) определяют производящую функцию моментов по непрерывной переменной .

Обозначим через вероятность того, что частица находилась внутри интервала в течение первых шагов и что в результате приращения координаты частицы на шаге ее значение будет заключено в интервале , т. е.

Здесь может быть как поглощающим, так и непоглощающим состоянием. Кроме этого, без ограничения общности можно положить

где — дельта-функция. Это предположение эквивалентно тому, что начальное положение частицы . Поэтому без ограничения общности всюду далее предполагается, что , так как нижний поглощающий экран расположен ниже точки начала отсчета.

Хотя функция зависит от значений и , однако для упрощения формы записи этот факт в обозначении опускается. Если в (20) положить или , то

В данном случае равна совместной вероятности того, что число шагов до поглощения равно , а в момент поглощения частица находится в интервале . Переходя к производящей функции моментов по дискретной переменной и непрерывной переменной , учитывающей все поглощающие состояния, из (21) имеем

Получим рекуррентное соотношение, связывающее . Для этого заметим, что если на шаге частица находилась в состоянии , то для того, чтобы на шаге частица попала в состояние , величина скачка должна быть равна (по предположению, распределение случайной величины не зависит от ). Следовательно, можно написать

Отсюда имеем

Таким образом, искомое рекуррентное соотношение имеет вид

Взяв от обеих частей равенства (23) двустороннее преобразование Лапласа, получим

Введем производящую функцию для :

Тогда из (22) с учетом (24) и (25) следует соотношение

Соотношение (26), как будет показано ниже, обобщает известное тождество Вальда [33] и дает довольно общее выражение для в случае рассматриваемой модели случайных блужданий. Оно остается справедливым и при наличии только одного поглощающего экрана (например, при ). Однако в этом случае операция математического ожидания в (26) может проводиться по вероятностям, сумма которых будет меньше единицы. Другими словами, при решении задач с одним поглощающим экраном следует иметь в виду, что с определенной вероятностью частица будет блуждать сколь угодно долго без поглощения (см. (4.47)).

Если случайные величины имеют дискретные значения, то, повторяя предыдущие рассуждения, получим

где есть дискретный аналог — производящая функция одного скачка . Формально соотношение (27) может быть получено из (26) заменой с учетом (19).

Пример 3. Дискретные случайные блуждания.

В качестве простого примера рассмотрим применение тождества (27) для анализа статистических характеристик простых дискретных блужданий [см. (4.33) и далее]. Так как в этом случае поглощение происходит только в точках или d, то с учетом обозначений, использованных при анализе простых дискретных блужданий, тождество (27) принимает вид

где

Здесь производящие функции определяются соотношением (4.43) и удовлетворяют уравнению (4.44) с нулевыми граничными условиями. Следовательно, если известны выражения для типа (4.36), то производящие функции могут быть найдены из (28) как коэффициенты разложения левой части равенства по степеням .

Тождество (27) может быть также использовано для нахождения самих функций и . Действительно, пусть и являются корнями уравнения

Тогда, подставляя в (28) и и замечая, что второе слагаемое в правой части (28) равно нулю, получаем

Решив эти уравнения относительно и получим все результаты § 4 п. 3.