Граничные условия

Аналогично одномерному случаю решение многомерного уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова (2) ищется при начальных условиях

(13.19)

или

Граничные условия также могут быть весьма разнообразными и определяются существом физической задачи [2, 17, 102].

В общем случае составляющие вектора потока в некоторой точке равны

(13-21)

Если векторный случайный процесс может принимать всевозможные значения , то аналогично (11.26) обычно выполняются граничные условия

(13.22)

Отметим, что при поток вероятности стационарного распределения не обязательно обращается в нуль внутри области существования при выполнении граничных условий (22), так как могут иметь место вихревые перемещения вероятности . Это существенно усложняет отыскание стационарного решения уравнения (2).

Рассмотрим некоторую замкнутую область многомерного пространства, которая имеет границу . Выделим из регулярную часть границы , через которую траектории марковского процесса в принципе могут выйти из области (см. § 27). По определению [102, 103], точка принадлежит регулярной части границы , если выполняется одно из следующих условий:

1) Матрица диффузии не вырождена в направлении, нормальном к границе, т. е.

Здесь — направляющие косинусы внешней нормали к границе области .

2) Матрица диффузии вырождена в направлении внешней нормали к границе , но выполняется условие

Обозначив через часть границы области на которой выполняется условие (23), а через часть границы , на которой выполняется условие (24), можно написать

(13.25)

Фазовые траектории недифференцируемы по направлению нормали к границе . Поэтому приближаясь к границе , траектории случайного процесса пересекают ее бесчисленное множество раз. На границе движение по дифференцируемой траектории определяется однозначно и направлено из области (см. § 27).

Войти внутрь области извне можно через границу , которая в общем случае состоит из двух частей

(13.26)

Точка принадлежит границе , если в этой точке матрица диффузии вырождена в направлении внешней нормали к границе и выполняется условие

На границе направление движения по траекториям внутрь области также определяется однозначно. Следовательно, на границах и не может происходить мгновенное упругое отражение в той же точке (см. § 11).

В общем случае возможными типами поведения диффундирующей частицы на границе области являются поглощение, отражение, скачкообразный уход с границ, диффузия по границе, остановка и их различные комбинации [17]. Слово «комбинация» означает просто линейную комбинацию соответствующих граничных условий, но вероятностный смысл такого комбинирования совсем не прост. Каждому типу граничных условий соответствует определенный процесс, происходящий на границе. Он определен на случайном множестве моментов времени, в которые частица находится на границе (вообще говоря, это множество не содержит никакого интервала). Изучение граничных процессов можно поэтому рассматривать как одну из задач еще не построенной общей теории многомерных марковских процессов со случайной областью определения. Учитывая это обстоятельство, ограничимся рассмотрением граничных условий для двух типов физических задач.

К первому типу относятся задачи, в которых в любой момент времени траектория многомерного процесса (-фундирующая частица) находится в области . Попадая на границу, частица либо отражается в той же точке, либо мгновенно переносится в другую точку границы и продолжает движение внутрь области (для наглядности можно представить броуновское движение молекул газа в ограниченном объеме, работу систем автоматического поиска полезного сигнала и т.п.). Общая запись граничных условий для уравнения (2) в этих задачах имеет вид

Здесь — нормальная составляющая вектора потока на границе, — плотность вероятности перехода частицы из точки границы в точку границы . Эта плотность определяется существом физической задачи и удовлетворяет условию нормировки

(13.29)

Условие мгновенного отражения в той же точке, которое может задаваться только на границе , следует из (28) в частном случае при . Аналогично (11.27) это условие записывается в виде

(13.30)

Отметим, что граничное условие (28) не исключает поток вероятности вдоль границы области .

Ко второму типу относятся задачи, связанные с достижением границ многомерным марковским процессом (см. § 27). В этих задачах представляет собой область, из которой частицы могут свободно выходить. Однако, после того как частица впервые покидает область , она уже не может возвратиться обратно или, как иногда говорят, исключается из дальнейшего рассмотрения (такие задачи возникают, например, при анализе срыва слежения в динамических системах). Чтобы запретить возвращение внутрь заданной области, уравнение (2) нужно решать с граничными условиями

(13.31)

Условие (31) обеспечивает поглощение частиц на той части границы области, через которую они в принципе могут войти в нее.

Пример 2. Граничные условия для двумерного марковского процесса.

Рассмотрим двумерный марковский процесс , поведение которого описывается системой стохастических дифференциальных уравнений

где и — взаимонезависнмые нормальные белые шумы с известными статистическими характеристиками

Коэффициенты уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова (см. § 19) в этом случае равны

Поэтому уравнение (2) принимает вид

(13.34)

Рассмотрим на фазовой плоскости область , с границей (рис. 13.1, а). На правой части границы направляющие косинусы внешней нормали равны .

Аналогично при имеем . Из (23) и (33) следует, что в данном случае матрица диффузии не вырождается на всей границе , т. е. вся граница является регулярной . При этом траектория марковского процесса может выйти из области и войти в нее через любую точку .

Рис. 13.1. Различные типы границ для двумерного марковского процесса.

Составляющие вектора потока согласно (21) и (33) определяются соотношениями

Если по физическому смыслу задачи при достижении границы траекториями марковского процесса происходит абсолютно упругое отражение в той же точке, то уравнение (42) следует решать с граничным условием (30), которое в данном случае имеет вид

(13.36)

Отметим, что в этом случае существует стационарное решение

уравнения (34), так как при уравнение (34) совместно с (36) образуют классическую смешанную краевую задачу для уравнения эллиптического типа [37].

В задаче о первом выходе траектории из области уравневне (34) нужно решать с граничным условием

так как в данном случае имеется равенство .

Пусть теперь в первом уравнении (32) отсутствует белый шум . Такой двумерный марковский процесс рассматривается в , где приведено решение уравнения (34) при на всей фазовой плоскости . Нетрудно убедиться, что при этом выполняются граничные условия (22) и процесс будет нормальным.

Для рассматриваемой области из (23) и (33) при следует, что матрица диффузии на всей границе вырождена в направлении внешней нормали. В этом случае регулярная часть границы Г определяется из условия (24), которое дает . Аналогично получим (рис. 13.1, б).

Уравнения (32), (34) при можно записать иначе

Уравнение (38), в частности, описывает случайные колебания механической резонансной системы, где — перемещение центра массы, — скорость перемещения. Предположим, что движение подобной системы ограничено абсолютно упругими отражающими экранами, расположенными в точках . Так как при достижении такого экрана меняется знак скорости, то и из (28) следует

Решение уравнения (39) с граничными условиями (40) даст распределение координаты и скорости системы (38) при движении между абсолютно упругими отражающими экранами. В терминах теории марковских процессов такой простой физической задаче соответствует довольно сложное движение частицы фазовой плоскости . При достижении границы частица мгновенно переходит в симметричную точку границы и продолжает движение внутри области .

При решении задачи о первом выходе траектории марковского процесса из области граничные условия для уравнения (39) в соответствии с (31) имеют вид

Частица может свободно выйти из области через регулярную часть границы . Однако попасть в область она уже не может в силу условий (41). Поэтому вероятность того, что частица впервые выйдет из области за время, не превышающее , определяется соотношением

(13.42)

где — есть решение уравнения (39) с начальным условием (20) и граничными условиями (41).

При анализе первого выхода за заданные границы огибающей процесса [104], описываемого уравнением (39), область имеет вид, показанный на рис. 13.1, в. Напомним, что для огибающей процесса имеет место равенство

(13.43)

В этом случае вся граница Г области является регулярной.