Связь с уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова

Решение задачи о первом выходе неоднородного многомерного марковского процесса из заданной области может быть получено при помощи прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова. Повторяя рассуждения § 26, аналогично (26.4) получим

(27.41)

Здесь — плотность вероятности перехода за время из точки в интервал для реализаций процесса, ни разу не покидавших область . Очевидно, что удовлетворяет прямому уравнению Фоккера — Планка — Колмогорова

(27.42)

с начальным условием

(27.43)

Так как интегрирование в (41) проводится только по значениям , принадлежащим области , то можно не запрещать траекториям марковского процесса выходить за пределы этой области. Нужно только обеспечить условия, при которых траектория процесса, которая к моменту хотя бы один раз вышла за пределы , не могла вернуться внутрь области. Повторяя рассуждения предыдущего раздела этого параграфа (см. также § 13), можно показать, что возвратиться внутрь области траектория процесса может только через част» границы . По определению [103, 117, 118], точка принадлежит , если выполняется одно из следующих условий:

Чтобы исключить возможность возвращения внутрь области траектории процесса, которая хотя бы один раз вышла за ее границы, уравнение (42) следует решать с граничным условием

(27.46)

Граничное условие (46) физически означает, что на границе отсутствуют траектории, ни разу за время не выходившие за пределы области . Отметим, что при помощи решения уравнения (42) с граничными условиями (46) может быть найдена вероятность первого выхода из области для неоднородного марковского процесса, если на некоторой части заданы условия (13.28).