Понижение порядка стохастических дифференциальных уравнений с малым параметром

В обшем случае фазовые координаты любой динамической системы, на которую воздействует коррелированный шум, могут быть представлены компонентами марковского процесса высокой размерности (21), (25), (28). Для упрощения анализа всегда желательно понизить порядок стохастических уравнений процесса, сохраняя основные черты рассматриваемых явлений. Выше был рассмотрен случай, когда уравнение (21), описывающее поведение системы, характеризовалось наличием одного малого параметра — времени корреляции процесса . При этом согласно локальные характеристики марковского процесса определялись соотношениями (19.42). Наличие других малых параметров дает иные возможности понижения порядка дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнение вида

где — малый параметр, — стационарное случайное воздействие с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией . Будем постоянную времени нелинейной системы (60) характеризовать величиной и время корреляции процесса величиной :

Если корреляционная функция процесса характеризуется несколькими значениями постоянных времени, то в качестве следует брать наибольшее из них.

Процесс , описываемый уравнением (60), не является в точности марковским. Приближенно можно считать марковским процессом, если выполняется неравенство

Приведем формулы для вычисления локальных характеристик процесса в общем случае, когда исходное уравнение в операторной форме записи имеет вид

Здесь считаются заданными соответствующие начальные условия, — оператор дифференцирования, — оператор преобразования Лапласа, — линейный оператор:

Уравнение (60) является частным случаем (63) при .

Для записи условных моментов (15) не требуется знать точного решения уравнения (63), достаточно найти его решение на малом интервале с точностью , где

(20.65)

Обозначим импульсную характеристику звена через . По определению,

где - оператор обратного преобразования Лапласа.

Применительно к (64) имеем

(20.67)

Рассматривая правую часть уравнения (60) как внешнее воздействие, формально при помощи импульсной характеристики уравнение (63) при можно записать в следующем виде:

(20.68)

Здесь интеграл в правой части не является стохастическим, так как процесс имеет ограниченную дисперсию. Поэтому уравнение (68) можно представить в операторной форме

(20.69)

Здесь для сокращения записи обозначено: — текущее решение, — «начальное» условие, — линейный интегральный оператор

Приближенное решение операторного уравнения (69) будем искать методом последовательных приближений

(20.70)

где — номер приближения.

В качестве нулевого приближения примем функцию, тождественно равную начальному условию . Тогда в соответствии с (70) первое и второе приближения имеют вид

Раскладывая функционал (71) в ряд Тейлора в окрестности «точки» (функции) и принимая во внимание два первых члена разложения, имеем

(20.72)

Здесь интегральный оператор имеет вид [145]:

При выполнении условия (65) можно показать, что функция растет не быстрее, чем не быстрее, чем в среднеквадратичном. Поэтому удерживая в соотношении (72) лишь члены порядка , получим

Можно показать, что следующие итерации и т. д. имеют с точностью до тот же вид, что и . Следовательно, выражение (73) является приближенным решением уравнения (69) с точностью до Возвращаясь к исходным обозначениям, для приближенного решения уравнения (68) получим выражение

(20.74)

Подставляя (74) в определение коэффициента сноса (15), имеем

(20.75)

Учитывая свойство (67) функции и неравенств (65), интегралы, входящие в (75), можно упростить:

В результате получим, что коэффициент сноса «эквивалентного» одномерного марковского процесса равен

где задается соотношением (19) и

(20.77)

Подставляя выражение (74) в определение коэффициента диффузии (15), получим известное выражение

(20.78)

Из сопоставления (19.34) с (76), (78) следует, что уравнению (63) можно поставить в соответствие обобщенное стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка (19.31). Пользуясь правилами перехода от обобщенных стохастических дифференциальных уравнений к симметризованным, получим, что случайный процесс, поведение которого описывается уравнением (63) с малыми параметрами, может быть приближенно заменен одномерным мерконским процессом , удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению первого порядка

где — нормальный белый шум с нулевым средним значением и спектральной интенсивностью .

Пример 3. Пусть корреляционная функция процесса имеет вид

Для передаточной функции вычисления по формулам (66) и (77) приводят к результату . Аналогично для получим .

Описанная методика понижения порядка уравнения (63) справедлива и при наличии нескольких малых параметров , которые удовлетворяют условию (62). Например, для передаточной функции из соотношений (66) и (67) следует .

Таким образом, значение коэффициента v зависит от соотношения между малыми параметрами и . Если , то ; если , то .