29. Общие сведения о случайных точечных процессах

Во многих областях естественных наук, в технике и экономике часто возникают задачи, требующие статистического описания последовательности событий, возникающих в отдельных точках пространства или в отдельные моменты времени. В простейшем одномерном случае последовательность случайных событий, происходящих во времени, можно характеризовать случайными моментами времени их появления , на временной оси . Такую последовательность событий часто называют случайным потоком (или просто потоком). Геометрически случайный поток можно изобразить в виде случайно следующих друг за другом точек на оси времени (рис. 29.1, а). Случайный поток можно также назвать случайным точечным процессом, так как реализации такого процесса представляют собой случайную последовательность точек.

Укажем несколько конкретных примеров.

1. Пусть имеется дифференцируемый случайный процесс , и нас интересуют пересечения этого процесса снизу вверх с горизонтальной прямой на уровне с (рис. 29.2). Последовательность таких точек пересечения на оси времени будет представлять собой случайный точечный процесс.

2. Известно, что при работе электронных ламп электроны вылетают из нагретого катода в случайные моменты, что является одной из главных причин наличия дробового шума анодного тока. Последовательность различных электронов катода есть случайный точечный процесс.

Рис. 29.1. Случайный точечный процесс.

Рис. 29.2. Пересечении случайного процесса с горизонтальной прямой

3. Будем фиксировать моменты отказов разных элементов какого-либо сложного устройства (например, ЦВМ), содержащего много элементов. Тогда получим поток отказов, являющийся случайным точечным процессом.

4. Последовательность заявок (посетителей, неисправных приборов и т. д.), поступающих в ремонтные мастерские на обслуживание, есть также случайный точечный процесс.

Выше приведены простейшие примеры точечных процессов, когда каждое событие определялось указанием лишь одной координаты - момента времени появления. Конечно, в конкретных задачах обычно встречается более сложная ситуация. Например, при рассмотрении дробового шума важно знать импульс тока, наводимого вылетевшим электроном на аноде; он зависит от случайной начальной скорости электрона. При анализе случайного потока в виде прямоугольных импульсов, помимо начала появления, нужно также знать его длительность и высоту. При изучении потока грозовых разрядов или землетрясений, помимо указания момента начала грозового разряда или землетрясения, важно знать продолжительность и пространственные координаты (высоту, широту и долготу). В этом направлении возможны различные обобщения случайных точечных процессов.

Рассмотрим одномерный случайный поток в виде неразличимых точек на оси времени (рис. 29.1, а). Обозначим через случайное число событий (точек), появляющихся в полуинтервале .

Значения изменяются на целое число только в моменты времени . Поэтому можно рассматривать как случайный процессе дискретным временем. Очевидно, что реализациями случайного процесса являются целочисленные, неотрицательные и неубывающие ступенчатые функции вида, приведенного на рис. 29.1, б. Для таких процессов во многих случаях оказываются применимыми многие результаты теории дискретных случайных процессов с непрерывным временем (см. § 6).

Укажем, что многие важные результаты в теории случайных точечных процессов принадлежат советским ученым А. Я Хинчнну [126] и Ю. К. Беляеву (см. дополнение к переводу книги [127]).

В последующем ограничимся изучением в основном целочисленных и ординарных точечных процессов.

Случайный процесс , определенный на полубесконечном интервале , называется целочисленным, если может принимать только целочисленные неотрицательные значения, причем положим

Случайный процесс называется ординарным, если вероятность наступления более одного события на любом малом интервале времени есть величина более высокого порядка малости, чем

Иначе говоря, ординарный поток есть поток относительно редких событий; в нем практически исключается тесная группировка или совпадение событий (наложение точек).

Можно указать два тесно связанных между собой метода описания случайных точечных процессов [8, 128]. Первый из них базируется на рассмотрении целочисленного случайного процесса (рис. 29.1, б), а второй — на анализе случайной последовательности точек во времени (рис. 29.1, а).

Случайный точечный процесс можно описывать вероятностями

совместного наличия точек левее . Очевидно, что эти вероятности неотрицательны, удовлетворяют условию

только если при и нормированы

Вместо вероятностей можно пользоваться вероятностями выпадения точек на отдельных полуинтервалах :

Введем вероятность

совместного выпадения точек в полуинтервалах .

Между вероятностями и существует очевидная связь. Если полуинтервалы расположены последовательно , то

Если же полуинтервалы примыкают друг к другу, то

где .

Если число точек , выпавших до начала первого полуинтервала фиксировано, то вероятности можно выразить через , а если точками, выпавшими , не интересоваться вообще, то указанные два способа описания точечных процессов можно считать эквивалентными.

Вероятности позволяют определить два важных частных вида случайных точечных процессов: стационарных процессов и процессов с независимыми приращениями (значениями).

Стационарным точечным процессом называется случайный поток точек, для которых вероятности с произвольным индексом не изменяются при сдвиге всех полуинтервалов по оси времени на произвольную величину :

В частности, для стационарного точечного процесса должно выполняться равенство

Полагая здесь и обозначая , можем написать

(29.11)

Это выражение показывает, что в стационарном точечном процессе вероятность наступления некоторого числа событий в течение заданного отрезка времени зависит только от величины этого отрезка, а не от его расположения на оси времени.

Случайный точечный процесс, для которого при неперекрывающихся полуинтервалах времени выполняется соотношение

(29.12)

называется процессом с независимыми приращениями (значениями). Равенство (12) выражает тот факт, что вероятность наступления со бытии в полуинтервале не зависит от того, сколько раз и как появлялись события вне этого полуинтервала. Поэтому условная вероятность появления событий на полуинтервале при любом предположении о наступлении событий до совпадает с безусловной вероятностью. В связи с этим иногда, вместо независимости приращений, говорят об отсутствии последействия, отождествляя эти два термина.

Из сказанного следует, что полное статистическое описание ординарного точечного процесса с независимыми приращениями достигается заданием вероятности . Если в дополнение к этому процесс является и стационарным, то для статистического описания процесса достаточно указать вероятность .

Случайный точечный процесс, удовлетворяющий трем условиям: ординарности, стационарности и независимости приращений, называется простейшим или пуассоновским процессом (см. § 30). Он играет фундаментальную роль в теории случайных точечных процессов и является основополагающим для формирования ряда других, более сложным точечных процессов.

Рассмотрим второй метод описания случайных точечных процессов, базирующийся на изучении различных случайных величин, характеризующих расположение точек на оси времени. Предварительно введем два определения, которые потребуются в дальнейшем. Прямым временем возвращения называется величина отрезка времени от некоторого момента времени до момента появления первого события после (расстояние от до первой точки справа — рис. 29.3). Применительно к теории надежности величину можно назвать остаточным временем жизни, так как оставшимся сроком службы элемента, используемого в момент времени .

Обратным временем возвращения называется длительность временного интервала от момента появления последнего события до (расстояние от t до первой точки слева — рис. 29.3). Если до момента не было точек, то по определению время принимается равным . В терминах теории надежности является возрастом элемента, используемого в момент .

Рис. 29.3. К определению прямого и обратного времен поглощения.

Пусть правее начала отсчета времени , принимаемого за нуль, выпали точки с координатами . Введем интервалы между соседними точками

(29.13)

являющиеся неотрицательными случайными величинами. При произвольно выбранном начале отсчета времени интервал есть прямое время возвращения. Если с вероятностью единица число точек потока, выпавших на конечном интервале, конечно, то поток можно считать заданным, когда заданы -мерные плотности вероятностей , так что выражение с точностью до величин высшего порядка малости по , равно совместным вероятностям нахождения в интервалах при .

Вместо плотностей вероятностей можно указывать плотности вероятностей , характеризующие случайные координаты точек, выпавших правее начала координат.

Между плотностями вероятностей и имеются очевидные соотношения:

Отметим, что выражения для плотностей вероятностей и даже в случае стационарного точечного процесса вообще говоря будут различными, когда начало отсчета времени выбрано произвольно и когда за начало отсчета взята какая-либо из выпавших точек (см. с. 413).

Выше указывалось, что оба метода описания случайных точечных процессов (при помощи целочисленного случайного процесса и последовательности случайных величин ) тесно связаны между собой [129].

Действительно, если есть число точек, выпавших в полуинтервале т. е. до включительно, — координата из выпавших точек тогда и только тогда, когда и тогда и только тогда, когда . Поэтому

(29.15)

Следовательно, если известно распределение целочисленного случайного процесса , то теоретически можно найти одномерные и многомерные плотности вероятностей случайных величин и наоборот.

Укажем, что можно предложить и другие методы описания случайных точечных процессов [2], преимущество которых состоит в том, что они применимы как к одномерным, так и многомерным процессам. Однако в дальнейшем они нам не потребуются.

В некоторых практических задачах полное описание случайного точечного процесса при помощи совместных вероятностей (3), (7) или многомерных плотностей вероятностей (14) может быть заменено более грубым, но зато и более простым указанием одномерных вероятностей, а также отдельных параметров (числовых характеристик) процесса. Во многих случаях необходимость такого упрощенного описания диктуется также возможностями экспериментальных исследований и проверок. Часто бывает очень сложно, а иногда и практически невозможно получить экспериментальным путем многомерные вероятности, и поэтому ограничиваются определением лишь некоторых интересующих параметров.

На пути упрощенного статистического описании случайных точечных процессов имеются разнообразные возможности [6, 127, 130]. Перечислим здесь те характеристики, которые будут изучаться в дальнейшем:

1. Математическое ожидание числа событий в полуинтервале и высшие моменты (в частности, дисперсия).

2. Плотность событий , определяемая формулой

(29.16)

3. Распределение времени , при котором произойдет событие.

4. Распределения прямого и обратного времени возвращения.

В дальнейшем мы рассмотрим сначала простейший, пуассоновский точечный процесс, а затем его обобщения в виде процессов восстановления.