20. Область применения аппарата марковских процессов

Согласно теореме Дуба математический аппарат марковских процессов (в частности, уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова) применим к линейным и нелинейным системам, описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями вида (19.38), когда внешнее случайное воздействие представляет собой нормальный белый шум. Однако на практике весьма часто приходится иметь дело с нелинейными системами другого типа и внешнее воздействие обычно не является дельтокоррелированным случайным процессом.

Покажем, что область применения теории марковских процессов не ограничивается указанными системами, а она гораздо шире. В частности, внешнее воздействие не обязательно должно быть дельтокоррелированным нормальным случайным процессом, и соответствующие дифференциальные уравнения могут отличаться от (19.38).

О коррелированности случайного воздействия

Рассмотрим сначала на простейшем примере случай, когда воздействующий процесс не является белым шумом. Пусть процесс задан линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида (15.1)

Однако в отличие от (15.1) будем считать, что не белый шум, а нормальный марковский стационарный процесс с нулевым средним значением и экспоненциальной корреляционной функцией

Покажем, что когда постоянная времени рассматриваемой системы много больше времени корреляции процесса , т. е. при условии , приращения случайного процесса на примыкающих интервалах времени , удовлетворяющих неравенствам

приближенно независимы, несмотря на то, что случайное воздействие не дельтокоррелнрованный процесс.

Случайный процесс является нормальным, так как он получается в результате линейного преобразования нормального процесса . Для нормального процесса условие статистической независимости приращений совпадает с условиями их некоррелированности. Для оценки степени коррелированности приращений нужно найти нормированную взаимную корреляционную функцию между этими приращениями.

Решение уравнения (1) с указанным начальным условием имеет

На основании этого решения находим среднее значение, корреляционную функцию и дисперсию процесса

Для стационарного состояния, которое устанавливается при , эти характеристики соответственно равны

Отметим, что в данном случае, в отличие от (14.2) и (15.1), процесс является дифференцируемым, причем дисперсия производной в стационарном состоянии равна . Возьмем три момента времени

Вычислим нормированную взаимную корреляционную функцию между приращениями и процесса на неперекрывающихся интервалах времени и :

Воспользовавшись формулами (5) и (6), в результате громоздких вычислении получим следующие выражения для взаимной корреляционной функции и дисперсий приращений

Очевидно, что для неперекрывающихся интервалов времени фиксированной длительности взаимная корреляционная функция приращений принимает наибольшее значение тогда, когда временные интервалы примыкают, т. е. при . Полагая и переходя к стационарному состоянию , из (8) и (9) соответственно получим

Если считать интервалы , то из условий (3) следуют неравенства . При этом формулы (10) и (11) принимают простой вид

На основании этих соотношений находим нормированную взаимную корреляционную функцию между приращениями случайного процесса на примыкающих интервалах длительностью

(20.13)

Отсюда видно, что приращения случайного процесса на неперекрывающихся временных интервалах длительностью и , имеющих порядок величины , которая удовлетворяет условиям (3), практически некоррелированы и, следовательно, независимы.

Из формальной методики доказательства теоремы Дуба (см. например, выражение ) следует, что одномерный непрерывный процесс является марковским, если случайные приращения процесса за малые последовательные неперекрывающиеся интервалы времени статистически независимы. Поэтому временных интервалов случайный процесс приближенно можно рассматривать как одномерный марковский процесс.

Выше внешнее случайное воздействие предполагалось нормальным стационарным процессом с нулевым средним значением и экспоненциальной корреляционной функцией. Однако такая чрезмерная конкретизация процесса вовсе не является обязательной; она была взята ради простоты вычислений. Все приведенные рассуждения останутся в силе и для других стационарных нормальных процессов , лишь бы выполнялось условие (3). Можно высказать даже более сильное утверждение: полученный выше результат при соблюдении условия (3) будет справедлив для обычно встречающихся на практике случайных процессов , имеющих одно характерное время корреляции. Доказательство этого утверждения для нормального случайного воздействия сопряжено с кропотливыми и трудоемкими вычислениями. Мы ограничимся здесь нестрогими пояснениями.

Известно [30], что при выполнении неравенства имеет место известное явление нормализации: если воздействующий процесс с малым временем корреляции не является нормальным, то процесс на выходе сильно инерционной линейной системы будет близким к нормальному. Поскольку для нормального процесса условие статистической независимости приращений эквивалентно условию их взаимной некоррелированности, то в данном случае с некоторым приближением сохраняют силу все приведенные выше вычисления и результаты.

Итак, можно сделать следующий окончательный вывод. Если случайный процесс с малым и одним характерным временем корреляции воздействуют на инерционную линейную систему с постоянной времени , то для временных интервалов , где

(20.14)

процесс на выходе линейной системы приближенно является марковским, и с указанными оговорками к нему применим математический аппарат марковских процессов (в частности, уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова).

Найдем теперь для процесса коэффициенты сноса и диффузии. Поскольку процесс можно рассматривать как марковский лишь для временных интервалов , то коэффициенты и нельзя вычислять непосредственно по формулам (11.10) и (11.11), в которых . В рассматриваемом случае эти коэффициенты следует определить формулами

(20.15)

где неравенствам (14).

Считая значение процесса в момент времени фиксированным, запишем выражение для приращения процесса за интервал времени

(20.16)

Отсюда находим среднее значение условного приращения

Коэффициент сноса равен

Здесь последнее равенство написано на том основании, что на временном интервале значение процесса практически не изменяется.

С учетом этой оговорки и воспользовавшись выражением (16), находим средний квадрат условного приращения

При верхний предел интегрирования можно приближенно положить равным бесконечности и в подынтегральном выражении пренебречь малым слагаемым . Тогда с учетом неравенства получим

Из сопоставления выражения (17) с (15.5) и (18) с (15.6) следует, что формально при вычислении коэффициентов сноса и диффузии для рассматриваемого случая (1) можно пользоваться стандартными формулами (11.10) и (11.11), нужно только в правой части уравнения (1) заменить реальный случайный процесс на фиктивный белый шум с корреляционной функцией

(20.19)

Следовательно, применительно к уравнению (1) остаются справедливыми все результаты § 15 с заменой значения постоянного коэффициента на .

Если бы среднее значение воздействующего процесса было отлично от нуля , то выражение для осталось бы прежним (18), а коэффициент , как видно из (16), был бы равен

Отметим, что в интересующем нас аспекте случайный процесс, описываемый уравнением (1), не является характерным и был взят ради простоты вычислений. Дело в том, что на основании § 15 нормальный одномерный марковский процесс можно трактовать как стационарное решение стохастического дифференциального уравнения

(20.20)

где — нормальный белый шум с корреляционной функцией .

Уравнения (1) и (20), рассматриваемые совместно, определяют двухкомпонентный марковский процесс .

Применительно именно к уравнению (1) наш вывод состоит в том, что статистические характеристики процесса для временных интервалов порядка можно получить из анализа одномерного процесса с заменой на фиктивный белый шум (19).

Предположим теперь, что в уравнение (19.1), вместо белого шума входит нормальный случайный процесс с заданным энергетнческнм спектром (корреляционной функцией).

Такое положение встречается часто и объясняется тем, что реальные случайные воздействия практически всегда являются дифференцируемыми функциями времени из-за неизбежной инерционности всех систем, а белый шум и одномерные марковские процессы недифференцируемы.

Однако в данном случае процесс , определенный дифференциальным уравнением

является одной из компонент многокомпонентного марковского процесса. Такое утверждение основано на том, что заданный энергетический спектр процесса практически всегда можно аппроксимировать с нужной степенью точности дробно-рациональной функцией вида

где и — полиномы

(20.23)

- постоянные коэффициенты.

Нетрудно показать [52,66], что нормальный процесс с энергетическим спектром (22) можно получить при помощи линейного формирующего фильтра с постоянными параметрами, на входе которого воздействует нормальный белый шум со спектральной интенсивностью . Дифференциальное уравнение фильтра имеет вид

где производные от белого шума понимаются чисто формально, как он недифференцируем (см. § 14).

Перейдем от линейного дифференциального уравнения -го порядка к системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Обозначим и введем дополнительно функций при помощи следующих равенств:

(20.25)

Постоянные коэффициенты выберем таким образом, чтобы из уравнения (24) исключить производные белого шума . Для этого подставим в (24) выражения производных функции через функции согласно (25). В результате получим

Приравнивая коэффициенты у одинаковых производных от в левой и правой части написанного равенства, получаем рекуррентную формулу для определения коэффициентов :

(20.27)

При этом уравнение (26) принимает вид

(20.28)

Система из линейных дифференциальных уравнений (25) и (28) является частным случаем системы стохастических дифференциальных уравнений (18.1) и, следовательно, определяет -компонентный марковский процесс.

Итак, уравнения (21), (25) и (28) совместно определяют -компонентный марковский процесс. При этом вычисление локальных характеристик этого процесса по правилам Ито и Стратоновича дают один и тот же результат.

Ранее уже отмечалось что с ростом числа компонент сложность решения всех задач для марковских процессов прогрессивно возрастает. Поэтому всегда желательно уменьшение числа рассматриваемых компонент, тем более, что вспомогательные компоненты не представляют самостоятельного интереса.