Средний квадрат ошибки синхронизации

За оценку качества работы цифровых систем ФАП обычно принимается величина среднего квадрата ошибки синхронизации в стационарном состоянии. Прежде чем перейти к ее вычислению, заметим, что для модели неограниченных случайных блужданий финальные вероятности состояний с течением времени стремятся к нулю, а средний квадрат ошибки синхронизации неограниченно возрастает.

Рис. 5.6. Диаграмма состояний для анализа среднего квадрата ошибки синхронизации.

Как и в непрерывных системах ФАП первого порядка (см. §22, рис. 22.3), это вызвано тем, что с ростом времени становятся возможными любые сколь угодно большие ошибки синхронизации. Поэтому не аналогии с непрерывными системами в дальнейшем будем рассматривать значения ошибок синхронизации, приведенные к интервалу, равному одному периоду полезного сигнала . При этом переход из состояния в (рис. 5.4) приводит к попаданию системы в состояние — , а переход из состояния в к .

При вычислении среднего квадрата ошибки синхронизации имеет значение лишь абсолютная величина этой ошибки. С этой точки зрения, попадание в состояние (или ) из состояния можно рассматривать как продолжение (с вероятностью ) пребывания в состоянии (или ). Кроме этого, состояния и дают одинаковый вклад в величину среднего квадрата ошибки. Поэтому для ее вычисления вместо модели случайных блужданий, приведенной на рис. 5,5, можно воспользоваться более простой моделью, диаграмма состояний которой показана на рис. 5.6. Здесь состояния 1 и являются упругими жесткими, стрелками указаны возможные изменения состояний с соответствующими вероятностями перехода.

Пусть по-прежнему обозначает вероятность того, что система в момент времени попадет в состояние , если начальное состояние было равно . Тогда стационарные значения вероятностен состояний равны

Повторяя рассуждения, использованные при выводе уравнения (4.50), получим, что стационарные значения вероятностей состояний удовлетворяют разностному уравнению

(5.6)

с граничными условиями

Аналогично (4.53) решение уравнения (6) с граничными условиями (7) запишется в виде

Здесь было использовано свойство симметрии и условие нормировки вида .

Из формулы (8) следует, что в случае отсутствия полезного сигнала и, следовательно, равновесное распределение вероятностей состояний ошибок в цифровой системе ФАП первого порядка имеет вид

Таким образом, в отсутствие полезного сигнала ошибки синхронизации, приведенные к его периоду, распределены, как и в аналоговых системах ФАП первого порядка (см. § 22), по равномерному закону.

По определению, средний квадрат ошибки синхронизации в стационарном состоянии определяется формулой

Подставив в (10) значения вероятностей состояний (8), получим

где . Отметим, что при наличии полезного сигнала выполняется неравенство , т. е. . Обозначив сумму ряда геометрической прогрессии , из (11) имеем

Рис. 5.7. Зависимость стандартного отклонения ошибки синхронизации от отношения сигнал/шум на выходе фазового детектора.

На рис. 5.7 показаны зависимости стандартного отклонения ошибки синхронизации (360° соответствует периоду сигнала ) от отношения сигнал/шум на выходе фазового детектора. Асимптотическое значение о в пределе при равно . Поэтому уменьшение интервала коррекции приводит к повышению точности синхронизации. Здесь следует также отметить, что отношение сигнал/шум на выходе фазового детектора связано с отношением сигнал/шум на входе системы соотношением

где — энергия полезного сигнала прямоугольной формы.

Из (13) следует, что при заданном отношении сигнал/шум увеличение полосы пропускания узкополосного фильтра с целью уменьшения искажений полезного сигнала приводит к снижению точности синхронизации.