7. Типовые разрывные марковские процессы
Рассмотрим несколько основных видов разрывных марковских процессов, которые хорошо изучены и часто используются в качестве моделей различных процессов в физике и радиотехнике 151.
Пуассоновский процесс
Пусть нас интересует число 
появлений некоторого случайного события в полуинтервале 
. Ясно, что случайный процесс 
является дискретным, принимает только целочисленные значения 
и может лишь возрастать (рис. 7,1), т. е.
Предположим, что вероятность одного изменения состояния в малом интервале времени 
равна, где 
, а вероятность сохранения прежнего состояния равна 
. При этом подразумевается, что вероятность смены состояния более одного раза в интервале 
есть 
. Следовательно,
Рис. 7.1. Пуассоновский процесс.
Зададим следующее начальное состояние:
Вычислим абсолютную вероятность какого-либо состояния. Для этого воспользуемся уравнением (6.12), в котором согласно (1) отличны от нуля только два коэффициента 
и 
. Поэтому
Общее решение этих линейных дифференциальных уравнений первого порядка известно (51. С учетом начальных условий (2) получим
Выполнив вычисления, придем к закону Пуассона
В рассматриваемом примере параметр v не зависит ни от времени, ни от состояния системы 
. Поэтому пуассоновский процесс является однородным, однако нестационарным, так как стационарное состояние не существует 
.
Прямые и обратные уравнения (6.15) и (6.16) для однородного пуассоновского процесса принимают соответственно вид
Можно убедиться, что эти уравнения при начальном условии 
имеют решение
Укажем, что если бы параметру пуассоновского закона зависел от времени, т. е. во все предыдущие соотношения входил бы параметр 
, то процесс 
был бы неоднородным. Для пуассоновского процесса с переменным параметром 
вместо формул (4) справедливо более общее выражение
на 
, воспользоваться для полученных уравнений предыдущим результатом (4), а затем возвратиться к первоначальной переменной 
.
