14. Чисто диффузионный процесс

К понятию чисто диффузионного процесса, называемого также процессом Винера или процессом Винера—Леви, можно прийти разными путями: путем надлежащего предельного перехода при анализе простейшей задачи о симметричном случайном блуждании частицы, встречающейся в теории броуновского движения, или же рассматривая случайную фазу колебаний автогенератора при учете собственных тепловых и дробовых шумов элементов схемы автогенератора (см. § 21).

Из курса физики известно, что молекулы газа или жидкости в отсутствие внешних влияний находятся в постоянном, хаотическом движении (броуновском движении), интенсивность которого зависит только от температуры и плотности. Молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при этом свою скорость и направление.

Рассмотрим движение относительно тяжелых частиц в газе или жидкости, считая, что масса такой частицы много больше массы молекул окружающей среды. Будем следить, как изменяется с течением времени одна из координат избранной тяжелой частицы, допустим, горизонтальная координата. При этом можно не учитывать силу тяжести; на частицу действуют только сила трения об окружающую среду и случайная сила толчков. Если масса тяжелой частицы равна , то, пренебрегая силой трения, для горизонтальной компоненты скорости на основании закона Ньютона записываем уравнение движения частицы

где через обозначена составляющая случайной силы толчков вдоль горизонтальной оси.

Путь, пройденный частицей в горизонтальном направлении, очевидно, находится из уравнения

Чтобы поведение частицы было статистически определенным, необходимо указать характеристики случайной силы. При соблюдении условий симметрии толчки, испытываемые данной частицей в результате столкновения с молекулами окружающей среды, в разных направлениях равновероятны. Поэтому среднее значение , очевидно, равно нулю. Случайная сила представляет результирующий эффект, обусловленный большим числом отдельных толчков. Время корреляции , грубо говоря, равно среднему времени между толчками. При большой концентрации молекул за временные интервалы частица испытывает большое число соударений. Поэтому для таких временных интервалов согласно центральной предельной теореме теории вероятностей случайную силу можно приближенно рассматривать как нормальный процесс с дельтообразной корреляционной функцией (нормальный белый шум).

Приведенные качественные соображения сводились в основном к тому, что в уравнении (1) воздействующую силу , строго говоря, нельзя считать белым шумом, т. е. дельтокоррелированным процессом. В действительности имеет конечное, отличное от нуля время корреляции есть разрывный процесс. Если отказаться от упрощающего допущения о дельтокоррелированности, то уравнение (1) будет математически вполне корректным. Однако введение идеализированного белого шума существенно упрощает все вычисления и во многих случаях позволяет получить правильный окончательный результат.

В известной мере такая идеализация оправдана тем, что обычно нас интересует не микроскопическая, а макроскопическая картина явления. Все реальные физические приборы, при помощи которых осуществляются наблюдения и измерения, имеют конечное время разрешения и неизбежно осуществляют некоторое взвешивание воздействующих на них процессов (за время ).

Отвлекаясь от рассмотрения других физических параметров, приводящих к чисто диффузионному (винеровскому) процессу, приведем формальное определение винеровского процесса и перечислим его основные свойства.

Винеровский процесс можно определить через белый шум при помощи стохастического дифференциального уравнения (см. § 19)

(14.2)

Под белым шумом понимается нормальный стационарный процесс с нулевым средним значением и дельтообразной корреляционной функцией

где — интенсивность (высота) одностороннего энергетического спектра, — дельта-функция (см. Приложение III).

Из (2) следует, что

Эти выражения можно также принять за определение винеровского процесса.

Поскольку белый шум предполагается нормальным процессом и при линейных преобразованиях свойство нормальности сохраняется, то процесс будет также нормальным. Согласно (4) среднее знвчение и дисперсия процесса равны

Поэтому одномерная плотность вероятности процесса имеет вид

Итак, винеровский процесс является нормальным нестационарным процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, пропорциональной времени.

На основании (4) находим выражение для автокорреляционной функции

Установим некоторые свойства приращений нормального процесса на неперекрывающихся интервалах времени. Пусть . Вычислим среднее значение, дисперсию и взаимную корреляционную функцию приращений. Из очевидного соотношения

следует, что среднее значение приращений равно нулю, а дисперсия приращений пропорциональна разности рассматриваемых моментов времени

С использованием (7) находим взаимную корреляционную функцию приращений

(14.10)

Следовательно, приращения процесса на неперекрывающихся интервалах времени некоррелированы. Поскольку эти приращения нормально распределены, то они независимы. Кроме этого, приращения можно назвать стационарными, так как среднее значение их равно нулю, а дисперсия пропорциональна разности рассматриваемых моментов времени.

Покажем, что винеровский является марковским. По теореме умножения вероятностей трехмерную плотность вероятности всегда можно представить в виде

На основании (2) можем написать

Отсюда видно, что при фиксированном значение не зависит от и, следовательно,

Поэтому

Применяя метод математической индукции, путем таких же рассуждений можно убедиться, что для плотностей вероятностей высших порядков остается в силе аналогичное соотношение, т. е. оказывается справедливой формула (10.4).

Отметим, что при доказательстве не было использовано свойство независимости приращений (10). Следовательно, условие независимости приращений на неперекрывающихся интервалах времени является необязательным, чтобы процесс был марковским.

Винеровский процесс является также мартингалом в том смысле, что условное математическое ожидание при фиксированных значениях , где , равно предшествующему наблюдаемому значению :

(14.12)

Этот результат непосредственно следует из равенства (11), если положить в нем .

На примере винеровского процесса (1) проиллюстрируем подробно методику вычисления коэффициентов сноса и диффузии, а также методику решения прямого уравнения Колмогорова при разных граничных условиях.

По формуле (11.10) применительно к (2) имеем

(14.13)

Распишем для рассматриваемого примера формулу (11.11):

Для найденных коэффициентов прямое уравнение Колмлорова (11.16) принимает вид

Рассматриваемый винеровский процесс можно получить из дискретного случайного процесса в результате предельного перехода.

Действительно, для симметричного однородного дискретного процесса с тремя состояниями в формулах (10.20) и (10.21) нужно положить . При этом и таким образом приходим к уравнению (15).

Уравнение (15) часто встречается в теории теплопроводности и диффузии. В теории теплопроводности решение определяет температуру в системе как функцию координаты v и времени . В теории диффузии определяет концентрацию диффундирующего вещества. В теории случайных процессов решение является одномерной плотностью вероятности, а при дельтообразном начальном условии — плотностью вероятности перехода.

Рассмотрим вначале фундаментальное решение уравнения (15), удовлетворяющее начальному условию

(14.16)

и граничным условиям

Получим решение методом характеристической функции. Для этого умножим обе части равенства (15) на , затем проинтегрируем результат по в бесконечных пределах и введем характеристическую функцию

(14.18)

Используя свойства преобразования Фурье, из (15) получаем

Отсюда с учетом начального условия (16) находим

(14.19)

Плотность вероятности определяем из обратного преобразования Фурье

Рассмотрим случай, когда в точке помещен отражающий экран. Это означает (см. § 11), что если некоторая реализация процесса пересекает линию при , то эта реализация заменяется новой кривой , которая совпадает с в интервале , а при заменяется некоторой новой кривой .

Следовательно, при наличии отражающей границы вместо процесса нужно рассматривать новый процесс

Плотность вероятности процесса определяется формулой

Используя иайдениое выше решение (20), запишем плотность вероятности

(14.22)

Предположим, что в точке расположен поглощающий экран, что соответствует граничному условию (см. § 11)

(14.23)

Можно показать 13, 61, что описанный выше процесс остается винеровским и для него сохраняет силу уравнение (15). Чтобы удовлетворить нулевому граничному условию (23), нужно в правой части формулы (21) изменить знак у последнего слагаемого:

(14.24)

Такой метод решения можно кратко назвать методом отражения с переменой знака. Подставив в (24) выражение (20), получим

Рассмотрим небольшое обобщение винеровского процесса, а именно простейший случайный процесс, для которого коэффициент сноса отличен от нуля. Пусть процесс задан стохастическим дифференциальным уравнением

(14.26)

где — постоянная величина; — нормальный стационарный белый шум.

Случайный процесс является марковским. Используя очевидное выражение для приращения процесса

нетрудно показать, что коэффициенты сноса и диффузии равны соответственно

Для таких коэффициентов уравнение (11.16) принимает вид

Фундаментальное решение этого уравнения при дельтообразном начальном условии дается выражением

(14.28)