Численный метод решения дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа

Как показано выше, исследование характеристик срыва синхронизации в системах ФАП второго порядка сводится к решен то эллиптического дифференциального уравнения в частных производных вида

где — постоянные известные коэффициенты; и — заданные функции.

Решением уравнения (54) должно удовлетворять граничным условиям

(28.55)

Покроем область прямоугольной сеткой при помощи прямых

где h — шаг по координате , — шаг по координате .

Заменим производные в уравнении (54) центральными разностными отношениями

Здесь и - значение искомой функции в узле .

Подставив (57) в (54), получим разностную аппроксимацию исходного дифференциального уравнения эллиптического типа

(28.58)

где коэффициенты определяются соотношениями

(28.59)

Граничные условия (55) примут вид

Соотношения (58) — (61) в совокупности дают неявную разностную схему решения поставленной краевой задачи (54), (55). Эта схема устойчива при любых значениях шагов и . Априорные оценки точности разностной аппроксимации (58) дают известное [43] значение порядка .

Обозначим вектор-столбец искомых значений в некотором слое через

(28.62)

В матричных обозначениях из соотношения (58) с учетом (60) и (62) получим

где и - квадратные матрицы, размером , и вектор-столбец имеют вид

Разностное уравнение (63) согласно (61) следует решать с граничными условиями

(28.65)

Для численного решения разностного уравнения (63) с граничными условиями (65) воспользуемся известным методом матричной прогонки [97]. Для этого представим искомое решение в виде

где и — некоторые матрицы и векторы.

Подставив (66) в (63) для определения матриц и вектором получим рекуррентные формулы

(28.67)

Так как , при из (66) имеем

(28.68)

Формулы (67), (68) позволяют последовательно при вычислить матрицы , и векторы . После того как значения матриц и векторов будут вычислены для всех значений , по формуле (66) с учетом (65) могут быть найдены значения . Вычисления по формулам (67) можно вести до тех пор, пока матрицы остаются невырожденными, что обычно имеет место на практике. Процесс решения уравнения (63) методом матричной прогонки устойчив по отношению к случайной ошибке округления при выполнении условий

(28.69)

где означает норму матриц.

Условия (69) также обычно выполняются. Проверку выполнения этих условий можно организовать в процессе вычислений. Отмены, что при реализации описанного алгоритма на ЦВМ необходимо организовать запоминание значений матриц и векторов , для всех .

В качестве простого примера рассмотрим численное решение опнеаннным методом классической краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона

(28.70)

с граничными условиями

(28.71)

Приближенное значение решения (70), (71) в центре квадрата, полученное описанным методом на ЦВМ за 2 мин при , будет . Точное же значение решения в этой точке [42]. Отметим, что при приближенное решение получается менее, чем за 30 секунд машинного времени.

Приведенные оценки свидетельствуют о высокой точности и эффективности метода матричной прогонки для решения краевой задачи Дирихле для уравнения в частных производных эллиптического типа.