13. Многомерные марковские процессы

Уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова

Предположим, что состояние системы в некоторый момент времени описывается совокупностью М случайных функций , т.е. случайным вектором в -мерном пространстве. Компонентами случайного вектора могут быть координаты системы или же часть из них представляют координаты системы, а остальные — скорости (см. ниже).

Векторный случайный процесс определяется абсолютными плотностями вероятностей , через которые могут быть выражены условные плотности вероятностей (плотности вероятностей перехода)

Многомерный марковский процесс определяется точно так же, как и одномерный марковский процесс (см. § 10). Для этого нужно в формулах формально заменить скалярную случайную функцию на векторную . В многомерном случае плотность вероятности перехода характеризует вероятность перехода из точки в область за промежуток времени .

Повторив рассуждения § 11, можно убедиться, что одномерная плотность вероятности и плотность вероятности перехода многомерного диффузионного марковского процесса удовлетворяют прямому и обратному уравнениям Колмогорова. Применительно к плотности вероятности прямое уравнение (многомерное уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова) имеет вид

Коэффициенты и этого уравнения определяются формулами

Можно показать, что если - -компонентный марковский случайный процесс, имеющий почти все траектории непрерывными и удовлетворяющий условиям (3), где — функции непрерывные вместе со своими производными, и квадратичная форма - неотрицательно определенная, то для процесса существует плотность вероятности , удовлетворяющая уравнению (2). Марковские процессы, для которых выполняются указанные условия, называют диффузионными.

Естественно, что решение уравнения (2) и формулировка граничных условий являются существенно более сложными задачами, чем в одномерном случае. Укажем здесь один частный случай, для которого можно записать выражение стационарной плотности вероятности [2].

Совокупность коэффициентов образует матрицу диффузии в . Пусть отличны от нуля и равны друг другу лишь диагональные элементы матрицы

где при и при . При этом условии диффузионное движение но всем координатам , протекает одинаково, и поэтому условие (4) можно назвать условием диффузионной изотропности.

При выполнении условия (4) многомерное уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова можно записать иначе

где — составляющие вектора потока в -мерном пространстве

Из (5) видно, что стационарная плотность вероятности (если она существует) удовлетворяет уравнению

Допустим, что для всех выполняется условие

Полагая здесь

получаем

Отсюда следует, что должны выполняться равенства

т. е. составляющие являются компонентами градиента некоторой функции , называемой потенциальной или потенциалом. Поэтому рассматриваемый случай (8) можно назвать потенциальным случаем.

Известно, что вычисление потенциала поля в прямоугольных координатах равносильно нахождению функции по ее полному дифференциалу

Отсюда следует, что функция определяется контурным интегралом

(13.11)

Здесь — аддитивная произвольная постоянная, — произвольная сначальная» точка, принадлежащая рассматриваемой области.

На основании (9) стационарная плотность вероятности равна

Входящая сюда произвольная постоянная С определяется (выражается через координаты начальной точки ) согласно условию нормировки

(13.13)

Конкретные примеры многомерных марковских процессов будут рассмотрены в § 18 и 20. Приведем здесь лишь иллюстративный пример.

Пример 1. Диффузионно-изотропный двумерный марковский процесс.

Пусть двухкомпонентный марковский процесс задан дифференциальными уравнениями

(13.14)

где и — детерминированные функции своих аргументов, и — взаимонезависимые белые шумы, имеющие нулевые средние значения и одинаковые дельта-функции корреляции

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для системы (14) имеет вид

В данном примере условия (4), (10) выполнены. Введем потенциальную функцию при помощи соотношений

Стационарное решение уравнения (16), удовлетворяющее естественному условию исчезновения плотности вероятности на бесконечности, как это следует из (12) и как легко убедиться непосредственной подстановкой, дается выражением

(13.18)

где — нормировочный множитель.