Общая модель одномерных случайных блужданий

Теория марковских последовательностей позволяет исследовать общую модель одномерных случайных блужданий частицы вдоль оси , когда в дискретные моменты времени координата частицы изменяется на случайную величину , имеющую заданную функцию распределения . При этом сама величина может быть дискретной или непрерывной. В последнем случае случайные величины являются марковской последовательностью. Как и в случае простых дискретных блужданий (см. § 4), в момент времени случайная координата частицы равна

где — начальное состояние, которое может быть детерминированным или случайным.

В общем случае движение частицы может происходить как по всей прямой 8 (неограниченные блуждания), так и на некотором интервале, ограниченном различного рода экранами [6].

Если движение частицы происходит по всей прямой , то вероятность того, что после достаточно большого количества шагов частица попадет в заданный интервал , может быть приближенно вычислена по формуле

где и — среднее значение и дисперсия случайной величины с функцией распределения .

Выражение (17) следует из центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого числа независимых случайных величин распределена по нормальному закону. Очевидно, что при частица в основном движется в направлении возрастания координаты, т. е. , а при соответственно . В общем случае неограниченных блужданий не удается получить более точных вероятностных характеристик типа (4.3), справедливых при любых (в частности, малых) значениях .