25. Обобщенные уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для смешанных процессов

Рассмотрим смешанный двухкомпонентный случайный процесс , у которого одна компонента - непрерывна, а другая — дискретна. В общем случае эти компоненты могут быть зависимыми и не марковскими. Тем не менее для вероятности перехода такого двухкомпонентного процесса можно получить уравнение типа Фоккера — Планка — Колмогорова [36].

Обозначим двумерную условную плотность вероятности смешанного процесса через

При этом величина равна вероятности одновременного выполнения условия и при некоторых дополнительных условиях и . В частности, условия и могут иметь следующий вид:

Условие является более полным (ограничительным), чем условие .

При таком задании условий введем специальное обозначение совместной условной плотности вероятности

В общем же случае эти условия могут включать в себя как различные связи между компонентами смешанного процесса и его предыдущими состояниями, так и зависимость данного процесса от других случайных процессов и некоторых параметров.

Согласно известному правилу полной вероятности для условной плотности вероятности смешанного процесса можем написать соотношение

Написанное соотношение можно рассматривать как обобщение уравнения Смолуховского (10.8).

Аналогично тому, как это было сделано в § II п. 1, представив в виде преобразования Фурье от характеристической функции, разложив под знаком интеграла характеристическую функцию в ряд Тейлора и почленно проинтегрировав, получим выражение вида (11.6):

и

где

Сумму произведений вероятностей дискретной компоненты , входящей в (4), можно представить в следующем виде:

Здесь

где

Подставив (5) и (7) в (4), получим

где «коэффициенты» и определяются соответственно формулами (6) и (8).

Предполагая существование предела и осуществляя предельный переход при , получим обобщение уравнения (11.7) на смешанный процесс

(25.10)

Коэффициенты этого уравнения определяются по формулам

(25.12)

Отметим, что предел при можно брать справа или слева. В том случае, когда (предел справа), получается прямое уравнение, а при (предел слева) — обратное уравнение. В дальнейшем везде используется прямое уравнение.

Выбирая в основном уравнении (10) соответствующим образом условия и , можно получить различные частные случаи, например, уравнение для плотности вероятности перехода смешанного марковского процесса, у которого компоненты не являются марковскими. Рассматривая независимые компоненты, можно получить уравнения для условных плотностей вероятностей и вероятностей немарковских процессов. Рассмотрим последний случай.

Для независимости компонент рассматриваемого двумерного процесса нужно допустить, что взаимонезависимы как сами компоненты и (8), так и условия и . В этом случае сомножители в правой части (1) будут независимыми. Подставив (1) в (10) и разделив результат на , после элементарных преобразований получим

(25.13)

Так как равенство (13) должно выполняться при произвольных , то правая и левая части его для сохранения условия нормировки должны быть тождественно равны нулю. Следовательно,

Если условия имеют сложный вид, например, в входит значение в предшествующий момент времени , а в входит значение , то процессы и в отдельности будут немарковскими, хотя написанные уравнения, похожие на уравнения для марковских процессов, останутся в силе.

Полагая в (14) , придем к известному уравнению (11.7) для непрерывного процесса . Если непрерывный процесс является марковским, то коэффициенты не зависят от и, кроме этого, коэффициентами при в диффузионном случае пренебрегают. При этих условиях с учетом обозначений (10.2), (11.10) и (11.11) уравнение (14) переходит в уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова (11.1):

Если , то дискретный процесс является марковским. Введя обозначение и учтя независимость коэффициентов от , получим уравнение (6.7) для дискретного процесса :

В данном случае величина равна вероятности перехода дискретного процесса за малое время из состояния в состояние , причем

(25.18)

Когда обе компоненты и являются по отдельности марковскими процессами, но не обязательно независимыми, коэффициенты могут также зависеть от . При этом основное уравнение (10) можно записать в виде

(25.19)

Применительно к условной совместной плотности вероятности, определенной равенством (3), уравнение (19) примет следующий конкретный вид:

(25.20)

где

(25.21)

Ранее было показано (см. (6.12) и (11.16)), что формулы вида (16) и (17) остаются в силе не только для вероятностей перехода, но и для абсолютных вероятностей состояний. Аналогичный результат справедлив и для смешанного марковского процесса . Поясним его вывод следующими рассуждениями.

Отметим, что согласно (12) вероятность сохранения состояния при заданном в течение малого интервала времени приближенно равна . Поэтому суммарная вероятность перехода за из состояния ; в любое другое возможное состояние , равна

Фазовое пространство рассматриваемого двухкомпонентного марковского процесса схематически можно представить в виде К прямых, соответствующих разным допустимым значениям дискретного процесса . Выделим на прямой, соответствующей интервал .

Приращение вероятности за малое время на элементарном интервале равно сумме двух слагаемых: 1) потока вероятности из-за непрерывного движения при условии отсутствия скачка и разности приходящей и уходящей вероятности из-за скачков. Запишем эту разность.

Обозначим через вероятность нахождения изображающей точки на прямой в элементарном интервале . На этот интервал возможны скачки с различных прямых . По закону умножения вероятностей вероятность, поступающая на выделенный элемент из-за скачков с какой-либо прямой , равна произведению вероятности нахождения изображающей точки в соответствующем элементе длины прямой на вероятность скачка . Поэтому суммарная вероятность, поступающая со всех прямых , очевидно, равна

По тем же соображениям вероятность, убывающая с выделенного элемента на прямой , равна — .

Воспользовавшись законом сохранения вероятности (11.25), можем написать

Поделив обе части этого равенства на и переходя к пределу при , с учетом (11.23) получим

Если процессы и независимы, то совместная вероятность равна произведению вероятностей каждого из процессов:

(25.24)

где — одномерная плотность вероятности процесса , — вероятность состояния .

Подставив (24) в (23) и разделив результат на , получим систему из двух самостоятельных уравнений, совпадающих с (11.16) и (6.12).

Решение уравнении (20) применительно к задаче о воздействии случайного телеграфного сигнала на интегрирующую цепочку подробно рассматривается в [77].