Времена возвращения

Получим асимптотические формулы для распределений обратного и прямого времен возвращения. Чтобы найти распределение обратного времени возвращения , заметим, во-первых, что в том и только в том случае, если в интервале не произошло ни одного восстановления, т. е.

(31.47)

где — функция распределения первого элемента (вероятность того, что первый элемент откажет до момента времени ).

Рис. 31.3. К вычислению плотности вероятности обратного времени возвращения.

Во-вторых, для некоторого вероятность того, что заключено в интервале для достаточно малых , равна вероятности того, что в интервале произошло восстановление (рис. 31.3) и что длительность безотказной работы введенного тогда элемента больше, чем :

где функция распределения определена формулой (3). Плотность вероятности величины для пуассоновского процесса дается второй формулой (30.48).

Рассмотрим предельное распределение величины при . Так как при , то для достаточно больших времен первый член (47) обращается в нуль. Далее, для любого фиксированного согласно формуле (42) имеем

Тогда из (48) следует, что предельная плотность вероятности обратного времени возвращения имеет вид

(31.49)

Для того чтобы распределение величины удовлетворительно аппроксимировалось предельным распределением (49), момент времени должен быть выбран настолько большим, чтобы, во-первых, была близка к единице и, во-вторых, плотность восстановления была близка к своему предельному значению для всех , при которых существенны приращения .

Для стационарного процесса восстановления плотность восстановления согласно формуле (36) постоянна и равна . Поэтому точное распределение обратного времени возвращения равно предельному распределению (49), урезанному моментом .

Рассмотрим теперь прямое время возвращения , определяемое как интервал времени, измеряемый от произвольно выбранного момента до следующего восстановления. Другими словами, есть остаточное время жизни элемента, используемого в момент времени .

Чтобы величина была заключена в интервале , нужно, чтобы: либо длительность безотказной работы первого элемента была заключена в интервале , либо для некоторого и в интервале произошло восстановление и длительность безотказной работы вновь введенного элемента была заключена в интервале.

Следовательно, плотность вероятности прямого времени возвращения равна

(31.50)

Предположим, что при . Тогда для предельной плотности вероятности с использованием формулы (42) получим выражение

Это выражение совпадает с (49). Поэтому плотность вероятности (51) можно назвать предельным распределением времени возвращения, не уточняя, какое именно время возвращения (обратное или прямое) имеется в виду.

Применительно к стационарному процессу восстановления из выражения (50) можно получить точный результат. Так как для стационарного процесса

то плотность вероятности будет равна

Следовательно, предельная плотность вероятности времени возвращения является точной плотностью вероятности для стационарных процессов восстановления. Именно этим обстоятельством объясняется вид плотности вероятности , принимаемый в формуле (2).

Плотность вероятности (52) является убывающей функцией и имеет преобразование Лапласа

(31.53)

Пользуясь этим выражением, нетрудно показать, что среднее значение и дисперсия времен возвращения равны соответственно

В заключение укажем, что математический аппарат теории восстановления, первоначально разработанный в интересах теории надежности и массового обслуживания, в последнее время находит прогрессивно возрастающее применение для решения разнообразных радиотехнических задач [81, 137].