Главная > Марковские процессы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Обобщения процесса Пуассона

Известно много различных обобщений процесса Пуассона. Здесь будет рассмотрено несколько таких обобщений, а именно:

1) пуассоновский процесс в нескольких измерениях,

2) неоднородный пуассоновский процесс,

3) обобщенный пуассоновский процесс,

4) сложный процесс Пуассона.

Пуассоновский процесс в нескольких измерениях. Иногда приходится иметь дело с пуассоновским процессом в нескольких измерениях, например, в трех. При этом, если через обозначить число событий в некотором элементе объема , то условия (1) — (3) при заменяются на следующие:

Кроме этого, предполагается, что число событий в неперекрывающихся объемах есть взаимонезависимые случайные величины При этих условиях можно показать, что число событий в объеме имеет распределение Пуассона со средним значением .

Неоднородный пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс называется неоднородным, если его функция интенсивности зависит от времени . Наоборот, если для всех , то пуассоновский процесс называется однородным. Функция интенсивности может быть детерминированной или случайной.

Неоднородный пуассоновский процесс определяется следующими условиями. Целочисленный случайный процесс имеет независимые, но нестационарные приращения, причем для него условия (2) и (4) остаются прежними, а условия (1) и (3) принимают вид

Для получения закона распределения можно применить ту же методику, что и выше в п. 1. Разобьем, например, полуинтервал времени на два примыкающих подынтервала и и учтем, что приращения процесса на этих подынтервалах есть независимые случайные величины.

Тогда можем написать

Воспользовавшись условием (65) и сохраняя прежнее обозначение (5), отсюда получаем дифференциальное уравнение

решение которого при начальном условии имеет вид

Естественно, что при эта формула переходит в (10).

Аналогичным путем получаем дифференциальные уравнения для вероятностей рассматривая различные частные случаи получения :

С учетом условий (2), (64)-(65) отсюда получаем систему рекуррентных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющую последовательно находить вероятности :

Общее решение этой системы дается выражением

Эта формула называется неоднородным законом Пуассона; при она переходит вобычный закон Пуассона (12). Укажем, что ее можно было получить иначе, в частности, при помощи производящей функции вероятностей или при помощи преобразования шкалы времени. Если, например, ввести новую переменную как строго возрастающую функцию времени , причем , то вероятность наличия события в полуинтервале приближенно равна . Если наложить ограничение , т. е.

то в новой шкале времени мы будем иметь однородный пуассоновский процесс с постоянной функцией интенсивности, равной единице. Возвратившись затем к первоначальной переменной , придем к формуле (68).

Отметим, что для неоднородного процесса Пуассона выполняется соотношение, аналогичное (27): среднее значение и дисперсия равны друг другу и даются формулой

(30.69)

В практических задачах в качестве функции интенсивности часто берут убывающую функцию вида

(30.70)

где и — положительные величины, определяемые экспериментально.

Обобщенный пуассоновский процесс. Допустим, что остаются справедливыми условия , т. е. случайные точки на оси времени распределены по закону Пуассона (12), но произвольная точка может содержать каких-то событии, где — взаимонезависимые и одинаково распределенные случайные величины с известными вероятностями

(30.71)

Введем производящую функцию этих вероятностей

(30.72)

Пусть в полуинтервале имеется случайных точек и — общее число событий. Предположим, что . Тогда вероятность числа событий представляет собой -кратную свертку вероятностей (71), а производящая функция для равна . Так как число точек в полуинтервале случайно и распределено по закону Пуассона (12), то производящая функция вероятностей для будет равна

Зная производящую функцию вероятностей, можно вычислить различные характеристики случайной величины .

Нетрудно убедиться [10]. что характеристическая функция обобщенного пуассоновского процесса имеет вид

(30.74)

где в свою очередь характеристическая функция неотрицательных целочисленных случайных величин , имеющих вероятности

(30.75)

Сложный процесс Пуассона. Стохастический процесс называется сложным процессом Пуассона, если для его можно представить в виде

где есть простой процесс Пуассона и — независимые и одинаково распределенные случайные величины. Процесс и последовательность случайных величин предполагаются независимыми.

Заметим, что правая часть равенства (76) представляет собой сумму случайного числа слагаемых, каждое из которых есть случайная величина, не зависящая от других, и все слагаемые одинаково распределены.

Покажем, что сложный процесс Пуассона имеет стационарные и независимые приращения. Его характеристическая функция равна

(30.77)

где — общая характеристическая функция независимых идентично распределенных случайных величин и v — средняя частота наступления событий. Если среднее значение квадрата случайных величин ограничено , то процесс имеет конечные первые моменты, даваемые формулами

Перейдем к доказательству перечисленных свойств. Так как пуассоновский процесс имеет независимые приращения и есть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, то физически ясно, что процесс имеет независимые приращения. Чтобы доказать, что процесс имеет стационарные приращения и что справедлива формула (77), достаточно показать, что для любых характеристическая функция приращения процесса имеет вид

Действительно, при для условной характеристической функции справедливо соотношение

так как при фиксировайном числе событий в полуинтервале , равном , величина представляет собой сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин . Поэтому для безусловной характеристической функции приращения процесса можем написать

Таким образом, формулы (77) и (81) доказаны.

Для получения формул можно воспользоваться известным правилом нахождения моментов при помощи дифференцирования характеристической функции (32.26) или же применить тождество Вальда (см. с. 100).

Из формулы (77) следует, что если есть целочисленная случайная величина, то сложный процесс Пуассона совпадает с обобщенным пуассоновским процессом. Наоборот, любой обобщенный пуассоновский процесс может быть представлен как сложный процесс Пуассона. Однако оба процесса не являются тождественными; обобщенный процесс может быть сформирован другими способами (например, как линейная комбинация бесконечного числа простых процессов Пуассона), чем сложный процесс.

1
Оглавление
email@scask.ru