Обобщения процесса Пуассона

Известно много различных обобщений процесса Пуассона. Здесь будет рассмотрено несколько таких обобщений, а именно:

1) пуассоновский процесс в нескольких измерениях,

2) неоднородный пуассоновский процесс,

3) обобщенный пуассоновский процесс,

4) сложный процесс Пуассона.

Пуассоновский процесс в нескольких измерениях. Иногда приходится иметь дело с пуассоновским процессом в нескольких измерениях, например, в трех. При этом, если через обозначить число событий в некотором элементе объема , то условия (1) — (3) при заменяются на следующие:

Кроме этого, предполагается, что число событий в неперекрывающихся объемах есть взаимонезависимые случайные величины При этих условиях можно показать, что число событий в объеме имеет распределение Пуассона со средним значением .

Неоднородный пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс называется неоднородным, если его функция интенсивности зависит от времени . Наоборот, если для всех , то пуассоновский процесс называется однородным. Функция интенсивности может быть детерминированной или случайной.

Неоднородный пуассоновский процесс определяется следующими условиями. Целочисленный случайный процесс имеет независимые, но нестационарные приращения, причем для него условия (2) и (4) остаются прежними, а условия (1) и (3) принимают вид

Для получения закона распределения можно применить ту же методику, что и выше в п. 1. Разобьем, например, полуинтервал времени на два примыкающих подынтервала и и учтем, что приращения процесса на этих подынтервалах есть независимые случайные величины.

Тогда можем написать

Воспользовавшись условием (65) и сохраняя прежнее обозначение (5), отсюда получаем дифференциальное уравнение

решение которого при начальном условии имеет вид

Естественно, что при эта формула переходит в (10).

Аналогичным путем получаем дифференциальные уравнения для вероятностей рассматривая различные частные случаи получения :

С учетом условий (2), (64)-(65) отсюда получаем систему рекуррентных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющую последовательно находить вероятности :

Общее решение этой системы дается выражением

Эта формула называется неоднородным законом Пуассона; при она переходит вобычный закон Пуассона (12). Укажем, что ее можно было получить иначе, в частности, при помощи производящей функции вероятностей или при помощи преобразования шкалы времени. Если, например, ввести новую переменную как строго возрастающую функцию времени , причем , то вероятность наличия события в полуинтервале приближенно равна . Если наложить ограничение , т. е.

то в новой шкале времени мы будем иметь однородный пуассоновский процесс с постоянной функцией интенсивности, равной единице. Возвратившись затем к первоначальной переменной , придем к формуле (68).

Отметим, что для неоднородного процесса Пуассона выполняется соотношение, аналогичное (27): среднее значение и дисперсия равны друг другу и даются формулой

(30.69)

В практических задачах в качестве функции интенсивности часто берут убывающую функцию вида

(30.70)

где и — положительные величины, определяемые экспериментально.

Обобщенный пуассоновский процесс. Допустим, что остаются справедливыми условия , т. е. случайные точки на оси времени распределены по закону Пуассона (12), но произвольная точка может содержать каких-то событии, где — взаимонезависимые и одинаково распределенные случайные величины с известными вероятностями

(30.71)

Введем производящую функцию этих вероятностей

(30.72)

Пусть в полуинтервале имеется случайных точек и — общее число событий. Предположим, что . Тогда вероятность числа событий представляет собой -кратную свертку вероятностей (71), а производящая функция для равна . Так как число точек в полуинтервале случайно и распределено по закону Пуассона (12), то производящая функция вероятностей для будет равна

Зная производящую функцию вероятностей, можно вычислить различные характеристики случайной величины .

Нетрудно убедиться [10]. что характеристическая функция обобщенного пуассоновского процесса имеет вид

(30.74)

где в свою очередь характеристическая функция неотрицательных целочисленных случайных величин , имеющих вероятности

(30.75)

Сложный процесс Пуассона. Стохастический процесс называется сложным процессом Пуассона, если для его можно представить в виде

где есть простой процесс Пуассона и — независимые и одинаково распределенные случайные величины. Процесс и последовательность случайных величин предполагаются независимыми.

Заметим, что правая часть равенства (76) представляет собой сумму случайного числа слагаемых, каждое из которых есть случайная величина, не зависящая от других, и все слагаемые одинаково распределены.

Покажем, что сложный процесс Пуассона имеет стационарные и независимые приращения. Его характеристическая функция равна

(30.77)

где — общая характеристическая функция независимых идентично распределенных случайных величин и v — средняя частота наступления событий. Если среднее значение квадрата случайных величин ограничено , то процесс имеет конечные первые моменты, даваемые формулами

Перейдем к доказательству перечисленных свойств. Так как пуассоновский процесс имеет независимые приращения и есть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин, то физически ясно, что процесс имеет независимые приращения. Чтобы доказать, что процесс имеет стационарные приращения и что справедлива формула (77), достаточно показать, что для любых характеристическая функция приращения процесса имеет вид

Действительно, при для условной характеристической функции справедливо соотношение

так как при фиксировайном числе событий в полуинтервале , равном , величина представляет собой сумму независимых и одинаково распределенных случайных величин . Поэтому для безусловной характеристической функции приращения процесса можем написать

Таким образом, формулы (77) и (81) доказаны.

Для получения формул можно воспользоваться известным правилом нахождения моментов при помощи дифференцирования характеристической функции (32.26) или же применить тождество Вальда (см. с. 100).

Из формулы (77) следует, что если есть целочисленная случайная величина, то сложный процесс Пуассона совпадает с обобщенным пуассоновским процессом. Наоборот, любой обобщенный пуассоновский процесс может быть представлен как сложный процесс Пуассона. Однако оба процесса не являются тождественными; обобщенный процесс может быть сформирован другими способами (например, как линейная комбинация бесконечного числа простых процессов Пуассона), чем сложный процесс.