Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Обобщения процесса ПуассонаИзвестно много различных обобщений процесса Пуассона. Здесь будет рассмотрено несколько таких обобщений, а именно: 1) пуассоновский процесс в нескольких измерениях, 2) неоднородный пуассоновский процесс, 3) обобщенный пуассоновский процесс, 4) сложный процесс Пуассона. Пуассоновский процесс в нескольких измерениях. Иногда приходится иметь дело с пуассоновским процессом в нескольких измерениях, например, в трех. При этом, если через
Кроме этого, предполагается, что число событий в неперекрывающихся объемах есть взаимонезависимые случайные величины При этих условиях можно показать, что число событий в объеме Неоднородный пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс называется неоднородным, если его функция интенсивности зависит от времени Неоднородный пуассоновский процесс определяется следующими условиями. Целочисленный случайный процесс
Для получения закона распределения можно применить ту же методику, что и выше в п. 1. Разобьем, например, полуинтервал времени Тогда можем написать
Воспользовавшись условием (65) и сохраняя прежнее обозначение (5), отсюда получаем дифференциальное уравнение
решение которого при начальном условии
Естественно, что при Аналогичным путем получаем дифференциальные уравнения для вероятностей
С учетом условий (2), (64)-(65) отсюда получаем систему рекуррентных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, позволяющую последовательно находить вероятности
Общее решение этой системы дается выражением
Эта формула называется неоднородным законом Пуассона; при
то в новой шкале времени мы будем иметь однородный пуассоновский процесс с постоянной функцией интенсивности, равной единице. Возвратившись затем к первоначальной переменной Отметим, что для неоднородного процесса Пуассона выполняется соотношение, аналогичное (27): среднее значение и дисперсия равны друг другу и даются формулой
В практических задачах в качестве функции интенсивности часто берут убывающую функцию вида
где Обобщенный пуассоновский процесс. Допустим, что остаются справедливыми условия
Введем производящую функцию этих вероятностей
Пусть в полуинтервале
Зная производящую функцию вероятностей, можно вычислить различные характеристики случайной величины Нетрудно убедиться [10]. что характеристическая функция обобщенного пуассоновского процесса имеет вид
где
Сложный процесс Пуассона. Стохастический процесс
где Заметим, что правая часть равенства (76) представляет собой сумму случайного числа слагаемых, каждое из которых есть случайная величина, не зависящая от других, и все слагаемые одинаково распределены. Покажем, что сложный процесс Пуассона
где
Перейдем к доказательству перечисленных свойств. Так как пуассоновский процесс
Действительно, при
так как при фиксировайном числе событий в полуинтервале
Таким образом, формулы (77) и (81) доказаны. Для получения формул Из формулы (77) следует, что если
|
1 |
Оглавление
|