32. Профильтрованный пуассоповский процесс

На частном примере дробового шума сначала поясним название параграфа и опишем физический характер рассматриваемых процессов, а затем получим основные соотношения, определяющие статистические характеристики таких процессов.

Дробовым шумом обычно называют флуктуации тока в вакуумных и полупроводниковых приборах, обусловленные случайным характером эмиссии и движения электронов в них. Рассмотрим в качестве конкретного и простейшего примера плоскопараллельныи электровакуумный диод, работающий в режиме насыщения. Анодный ток диода представляет собой суперпозицию элементарных индуцированных импульсов, возникающих из-за пролета между катодом и анодом отдельных электронов. Поскольку в режиме насыщеиня нет взаимного влияния элементарных импульсов друг из друга, то анодный ток есть просто линейная сумма элементарны, импульсов. Форма отдельного элементарного импульса определяется динамическими уравнениями движения электрона. Если не учитывать различие и случайное значение начальных скоростей эмитруемых катодом электронов (см. ниже), то форма всех элементарных импульсов будет одинаковой и они будут отличаться только временами появления . Если — момент времени вылета из катода, то в рассматриваемом частном примере элементарный импульс тока, индуцированный на аноде пролетом электрона, имеет вид прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 32.1, где — заряд электрона, — время пролета электрона между катодом и анодом.

Предположим, что наблюдение за анодным током какого-либо одного диода начинается в момент времени и этот ток измеряется в момент времени . Допустим, что много больше длительности элементарного импульса (чтобы можно было не учитывать влияние на ток элементарных импульсов, появившихся до начального момента времени ).

Если в полуинтервале было эмитировано ровно электронов, то рассматриваемого диода равен

Рис. 32.1. Элементарный импульс индуцированного тока.

Здесь — детерминированная форма элементарного импульса, обусловленного электроном, эмиттируемым в момент времени , причем времена не ранжированы.

Предположим, что описанная операция наблюдения наблюдения осуществляется над большим числом идентичных диодов, работающих в одинаковых условиях. Тогда естественно допустить, что число эмиттируемых электронов в разных диодах за время будет различным. С учетом этого обстоятельства ансамбль диодов можно характеризовать случайным процессом , где

Здесь — целочисленная случайная величина, определяющая число электронов, эмиттируемых в полуинтервале , — случайные неранжированные времена эмиссии электронов.

Если принять, что случайный процесс эмиссии электронов из катода удовлетворяет трем условиям, сформулированным а начале § 30, то случайная величина будет иметь пуассоновское распределение.

Случайному процессу (2) можно дать другую трактовку. Предположим, что на вход линейной системы с импульсной характеристикой воздействует последовательность (сумма) пуассоновских дельта-импульсов

где — случайные времена появления дельта-импульсов, описываемые пуассоновским потоком. Тогда случайный процесс на выходе системы будет иметь вид (2):

Если линейная система имеет переменные параметры и, следовательно, импульсную характеристику вида , то на выходе такой системы получим случайный процесс

Этот пример в некоторой мере поясняет название и содержание настоящего параграфа. По существу будут рассматриваться случайные процессы, получающиеся в результате своеобразных линейных преобразований пуассоновского потока.

Во многих практических ситуациях приходится иметь дело со случайными процессами более сложного вида, чем (2) и (4). Так, если учитывать случайный (максвелловский) характер начальных скоростей эмиттируемых электронов, то форма элементарных импульсов будет зависеть не только от времени вылета электрона , но и от его начальной скорости . При этом вместо процесса (2) получим более сложный процесс

Если в приведенном выше примере считать различными и случайными высоты входных дельта-имиульсов, т. е. полагать

то на выходе линейной системы о переменными параметрами получим сложный процесс

Разумеется, что со случайными моментами времени можно связывать различные величины. Например, в теории надежности — стоимость или трудозатраты восстановлений и т. д.

Следуя [10], мы примем за исходное следующее определение профильтрованного пуассоновского процесса.

Случайный процесс называется профильтрованным пуассоновским процессом, если для его можно представить в виде

Здесь — пуассоновский поток с интенсивностью , — последовательность взаимонезависимых и одинаково распределенных случайных величин, не зависящая от , — детерминированная функция трех действительных переменных.

Во многих практических задачах отдельные величины в записи (8) допускают следующую интерпретацию: — время появления случайного события, — амплитуда элементарного сигнала, связанного с этим событием, — обусловленное этим событием значение элементарного сигнала в момент времени и — значение при суммы элементарных сигналов, обусловленных событиями, осуществившимися во временном полуинтервале .

Из выражения (8) следует, что для задания профильтрованного пуассоновского процесса необходимо указать: 1) интенсивность v порождающего пуассоновского потока, 2) общее для всех случайных величин вероятностное распределение и 3) конкретный вид функции .

Основные статистические характеристики профильтрованного пуассоновского процесса определяются следующей теоремой.

Пусть — профильтрованный пуассоновский процесс (8). Тогда для любых положительных и действительных значений одномерная характеристическая функция определяется формулой

а двумерная характеристическая функция для любых и действительных значений и дается выражением

Если всех , то процесс имеет конечные первый и вторые моменты, равные

Здесь , а через формально обозначена случайная величина, имеющая тот общий вероятностный закон распределения, который описывает каждую из взаимно независимых случайных величин .

Из методических соображений начнем доказательство этой теоремы с вычисления математического ожидания процесса . Случайный процесс согласно (8) есть сумма случайного числа детерминированных функций от случайных аргументов. Имея это в виду, вычислим математическое ожидание предполагая сначала, что целочисленная случайная величина имеет какое-либо фиксированное значение (допустим, ). Это условное математическое ожидание находится осреднением по неранжированным временам и случайной величине . Затем полученный результат осредним по всем возможным значениям случайной величины .

Итак, можем написать

где имеет пуассоновский закон распределения

а условное среднее значение можно записать в виде

(32.16)

Отметим, что в (16) должно выполняться двойное осреднение: по неранжированным временам появления событий и по случайной величине ; порядок выполнения операций осреднения в принципе не имеет значения.

Рассмотрим, как это записано выше, сначала осреднение по случайным величинам . Из § 30 следует, что поскольку процесс является пуассоновским, то все времена появления событий — взаимонезависимые случайные величины, каждая из которых равномерно распределена в полуинтервале :

(32.17)

Следовательно,

Учитывая, что операции интегрирования и взятия математического ожидания можно менять местами, можем написать

(32.18)

Здесь

(32.10)

где — общая плотность вероятности каждой из случайных величин . Подставив выражение (18) в (16) и полученный результат в (14), придем к формуле (11):

Получим теперь формулу (9) для одномерной характеристической функции

Поступим так же, как и при вычислении математического ожидания. Можем написать

(32.21)

где

(32.22)

Здесь последнее равенство написано на том оснований, что случайные величины взаимонезависимы. Так как все они имеют одинаковую равномерную плотность вероятности (17), то

Поэтому выражение (22) принимает вид

Для упрощения записей в последнем выражении опущен индекс . Подставим это выражение в (21) и учтем формулу (15). Тогда получим

Отсюда видно совпадение полученного результата с формулой (9).

Перейдем к доказательству формулы (10) для двумерной характеристической функции

Здесь при записи последнего равенства две суммы заменены одной с одним общим верхним пределом суммирования на том основании, что при любых функция , если , так как элементарный входной сигнал, появившийся в момент времени , не может оказывать влияние на результат в более ранний момент времени .

Ради сокращения последующих математических записей введем обозначение

(32.24)

Тогда

Порядок последующих вычислений такой же, как и при вычислении одномерной характеристической функции. Можем написать

Повторив приведенные выше рассуждения, относящиеся к одномерной характеристической функции, теперь получим

Подставив этот результат в предыдущее выражение и учтя формулу (15), получим

Если подставить сюда выражение из (24) и учесть, что при , то придем к формуле (10).

Формулу (12) можно получить из (9), а (13) из (10), воспользовавшись известным правилом вычисления моментов по характеристическим функциям:

(32.26)

Применительно к простейшему стационарному дробовому шуму вида (2), а именно,

где времена появления элементарных импульсов одинаковой формы описываются пуассоновским потоком с интенсивностью , формулы (9), (11)-(13) принимают следующий вид:

(32.28)

Формулы (28)-(30) обычно называют теоремой Кемпбелла о суперпозиции независимых случайных возмущений (импульсов).

В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим ранее описанный пример дробового шума в плоскопараллельном диоде, работающем в режиме насыщения, когда элементарные импульсы имеют вид прямоугольных треугольников (рис. 32.1), т. е.

Применительно к этому частному случаю теорема Кемпбелла дает

Пусть стационарный дробовой шум имеет вид

(32.31)

Здесь — взаимонезависимые случайные амплитуды элементарных импульсов, имеющие общую (для всех ) плотность вероятности — случайные времена появления элементарных импульсов, не зависящие от и описываемые пуассоновским потоком с интенсивностью . В данном случае формулы (9)-(13) переходят соответственно в следующие:

(32.36)

Здесь

(32.37)

В том частном случае, когда амплитуды всех элементарных импульсов одинаковы и равны , т. е. , эти формулы упрощаются, так как

Понятие профильтрованного пуассоновского процесса и соответствующие результаты могут быть обобщены на неоднородный, обобщенный и сложный процессы Пуассона. В частности, пусть есть неоднородный процесс Пуассона с функцией интенсивности . Напомним, что величина приближенно равна вероятности того, что в интервале произойдет одно событие процесса . Пусть профильтрованный неоднородный пуассоновский процесс по-прежнему определяется выражением (8). Можно показать, что для такого процесса формулы (9), принимают вид

Отметим, что эти формулы дают статистическое описание нестационарного дробового шума. Если «насыщенный» диод работает при периодически изменяющихся напряжениях, то интенсивность эмиссии будет также периодически меняться. В результате получим неоднородный процесс Пуассона с периодически изменяющейся функцией интенсивности .

Выше были получены формулы для характеристических функций профильтрованного пуассоновского процесса. Однако из обратного преобразования Фурье, как правило, не удается найти по характеристическим функциям соответствующие вероятностные распределения. Возникающие вычислительные трудности не позволяют выполнить расчеты точно и до конца. Этот вопрос подробно обсуждался в физической и математической литературе [10, 94, 131, 138—142]. Здесь мы рассмотрим предельный случай, а именно, докажем асимптотическую нормальность профильтрованного процесса Пуассона при увеличении параметра интенсивности . Этот результат, по существу вытекающий из центральной предельной теоремы (поскольку речь идет о сумме функций от независимых случайных величин), можно сравнительно легко доказать.

Из формул (11) и (12) видно, что математическое ожидание и дисперсия профильтрованного пуассоновского процесса линейно возрастают при увеличении интенсивности . Поэтому целесообразно иметь дело с нормированным процессом

(32.42)

математическое ожидание которого равно нулю, а дисперсия — единице. Для сокращения записей введем формальные обозначения

(32.43)

Из сопоставления этих обозначений с формулами (11) и (12) следуют равенства

(32.44)

с учетом введенных обозначений

(32.45)

Выразим характеристическую функцию нормированного процесса через характеристическую функцию (9) процесса . По определению характеристической функции имеем

Подставив сюда выражение из (9), можем написать из (9), можем написать

На основании известного разложения экспоненциальной функции в ряд

представим экспоненту под знаком интеграла рядом и несколько преобразуем получающееся выражение с учетом введенных обозначений (43). Тогда получим

(32.46)

Отсюда видно, что если для любых математическое ожидание , дисперсия и входящие в (46) отношения

конечны, то при нормализованный процесс , а следовательно, и исходный процесс становятся асимптотически нормальными. В этом предельном случае

(32.48)

Этой предельной характеристической функции соответствует нормальная плотность вероятности

(32.49)

Если теперь согласно (45) возвратиться к первоначальному процессу , то при оговоренных выше условиях асимптотическая нормальйая плотность вероятности равна

Рис 32.2 Колебательный контур.

Можно показать, что полученный асимптотический результат распространяется на многомерные характеристические функции. Следовательно, профильтрованный процесс Пуассона асимптотически стремится к нормальному процессу, когда параметр интенсивности v (среднее число событий в единицу времени) неограниченно возрастает.

Один пример нормализации профильтрованного пуассоновского процесса, когда на интегрирующую цепочку RC воздействуют пуассоновские дельта-импульсы со случайной амплитудой, был рассмотрен в . Рассмотрим здесь другой пример.

Пример 1. Воздействие пуассоновских дельта-импульсов со случайной амплитудой на колебательный контур. Пусть на колебательный контур (рис. 32.2) воздействует последовательность импульсов тока вида , где — случайные взаимонезависимые «амплитуды» дельта-импульсов с одинаковой (общей) плотностью вероятности , - случайные моменты появления дельта-импульсов, не зависящие от и описываемые пуассоновским потоком с интенсивностью . Конкретизируем условия, при которых плотность вероятности тока в индуктивной ветви колебательного контура будет близка к нормальной. При этом ограничимся рассмотрением колебательного случая , когда импульсная характеристика имеет вид

(32.51)

Каждый из указанных входных дельта-импульсов вызывает на выходе контура элементарный импульс тока, определяемый интегралом Дюамеля:

(32.52)

Поэтому интересующий нас профильтрованный процесс Пуассона в стационарном состоянии имеет вид

По формулам (34)-(36) находим математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию процесса :

Здесь и в дальнейшем начальные моменты случайной амплитуды обозначены через

(32.54)

Вычислим теперь отношения (47), входящие в выражение (46) для характеристической функции при . Применительно к нашему примеру они принимают вид

Следовательно, если плотность вероятности случайных «амплитуд» воздействующих дельта-импульсов такова, что отношения конечны, то плотность вероятности тока в индуктивной ветви колебательного контура при будет весьма быстро (из-за выполнения неравенства ) стремиться к нормальной.

Укажем, что выражение для одномерной характеристической функции (32) применительно к линейным узкополосным колебательным системам можно существенно упростить [141]. Обычно импульсная характеристика таких систем имеет вид

(32.55)

где — огибающая импульсной характеристики, — некоторый постоянный фазовый сдвиг.

Если рассматривать воздействие на такую систему Пуассоновских дельта-импульсов со случайной амплитудой вида , то элементарные импульсы на выходе системы будут иметь вид

При этом для одномерной характеристической функции по формуле (32) можем написать

Представим экспоненциальную функцию под знаком интеграла рядом

После статистического осреднения и разбиения слагаемых суммы на две группы: с четным и нечетным степенями получим

В результате подстановки этого выражения в (57) имеем

(32.58)

Разложим периодические функции и в ряды Фурье:

Перенесем эти разложения в выражение (58):

(32.59)

Применим теперь лемму Лебега—Римана: если функции абсолютно интегрируема в интервале , то

Пусть значительно больше величины, обратной постоянной времени, характеризующей огибающую импульсной характеристики системы. Тогда в выражении (59) формально можно устремить к и применить лемму Лебега—Римана. Выполнив это, получим

(32.60)

При оценочных расчетах этой формулой можно пользоваться в допредельном варианте, если, конечно, много больше величины, обратной постоянной времени огибающей .