Некоторые смежные вопросы

Со случайным временем пребывания траектории процесса в интервале , если начальная точка находилась внутри этого интервала, тесно связано распределение наибольших абсолютных значений марковского процесса :

(26.187)

На основании определения функции распределения случайной величины через вероятность соответствующего события можем написать

Определим размах или величину осцилляции марковского процесса соотношением

Можно показать [114], что плотность вероятности величины осцилляции определяется выражением

Существование производной под знаком интеграла в (190) следует из существования плотности вероятности процесса по и , так как для любого имеет место равенство

(26.191)

Взяв от обеих частей равенства (190) преобразование Лапласа, получим

(26.192)

Здесь было учтено соотношение (69) и то, что преобразование Лапласа в может быть выполнено под знаком интегрирования и дифференцирования. Заменим в (192) переменные на новые переменные (где ). При этом

(26.191)

Подставив (193) в (192), для преобразования Лапласа от плотности вероятности величины осцилляции имеем

(26.195)

С учетом граничных условий (79) выражение можно записать в более удобном для использовании виде

В качестве иллюстрации применения полученных формул рассмотрим простой пример.

Пример 13. Найдем распределение величины осцилляции винеровского процесса (86), у которого . В этом случае согласно (30) и (93) преобразование Лапласа от плотности вероятности времени первого достижения границ имеет вид

(26.196)

Подставив (196) в (195) и выполнив интегрирование, получим

Отметим, что для винеровского процесса плотность вероятности величины осцилляции не зависит от начального состояния Обратное преобразование от (197) дает

(26.198)

Для моментов распределения размаха колебаний винеровского процесса из (197) в этом случае следует

где

В частности, для первых двух моментов величины осцилляции винеровского процесса имеем