Случайные блуждания между отражающими экранами

Предположим, что в точках помещены отражающие экраны. Под этим имеется в виду, что если частица на очередном шаге попадает в точку, лежащую за пределами какого-либо экрана, то она мгновенно возвращается на его поверхность и остается там до тех пор, пока на каком-то шаге она не перейдет внутрь области . По-прежнему без ограничения общности предполагается, что в начальный момент частица находится в состоянии . Таким образом, в момент времени координата частицы равна

Отметим, что даже при непрерывном распределении каждого скачка после некоторого количества шагов функция распределения координаты будет дискретно-непрерывной. Она будет складываться из конечных вероятностей пребывания на каждом из экранов и непрерывного распределения вероятности пребывания частицы между экранами. Поэтому для описания статистических характеристик случайных блужданий между отражающими экранами удобнее пользоваться функциями распределения, а не плотностямн вероятности.

Обозначим вероятность того, что на шаге координата частицы будет меньше некоторой величины через

По определению, будет неубывающей функцией для , непрерывной справа и

Если в момент времени частица занимает положение , то

Здесь — функция распределения случайной величины . Отсюда следует, что при при и при

Интегрируя правую часть последнего равенства по частям и предполагая, что существует функция , с учетом (50) получим

Как и в случае простых одномерных случайных блужданий, можно ожидать, что после достаточно большого числа шагов в системе установится равновесное распределение . Из (51) следует, что в равновесном состоянии

Если случайные приращения координаты дискретны, то вместо (52) следует использовать соотношение

В частности, если случайные приращения координаты могут принимать только целочисленные значения, то существует стационарное (равновесное) распределение вероятностей для целых значений . Такие процессы называются цепью Маркова и их свойства подробно изучались в § 2, 4.

Укажем два основных свойства равновесного распределения. Во-первых, оно не зависит от начального значения координаты, так как в (52) входят известные величины и одна неизвестная функция . Во-вторых, если начальное состояние представляет собой случайную величину с функцией распределения , то согласно (51) для всех .

В настоящее время не существует методики, позволяющей достаточно просто получить аналитическое решение интегрального уравнения Фредгольма (52) и, следовательно, найти равновесное распределение . Однако для одного отражающего экрана, полагая , из (52) получим

Интегральное уравнение Винера—Хопфа (54) в ряде частных случаев может быть решено аналитически [31].

До сих пор рассматривались отдельно характеристики случайных блужданий между поглощающими и отражающими экранами. Можно показать, что эти задачи в некотором смысле эквивалентна, т. е. из решения одной из задач следует решение другой. В частности, если известны вероятности поглощения на каждом экране произвольного начального состояния, то очень просто может быть найдено равновесное распределение [32].

Рассмотрим случай, когда приращения координаты частицы являются непрерывными случайными величинами с плотностью вероятности . Без ограничения общности можно поместить начало системы координат посредине экранов, т. е. положить . Пусть нам известна функция , которая представляет собой вероятность поглощения на нижнем экране при условии, что начальное состояние . Для отражающих экранов будет функцией распределения местоположения частицы после шагов при условии, что первоначально она находилась на верхнем экране.

Тогда

и согласно (52) функция удовлетворяет интегральному уравнению

Для случайных блужданий между поглощающими экранами из произвольного начального состояния обозначим через вероятность поглощения на нижнем экране за число шагов, не превышающее . Для того чтобы получить рекуррентное соотношение, связывающее и , заметим, что поглощение может произойти в результате двух взаимоисключающих событий: либо оно произойдет на первом шаге с вероятностью , либо частица на первом шаге попадет в некоторое состояние и тогда с вероятностью поглощение произойдет в моменты . Таким образом, имеем

Заменив в последних соотношениях на , получим

Из (55), (56) и (57) видно, что функции и удовлетворяют одними тем же интегральным уравнениям с одинаковыми начальными условиями. Поэтому имеет место соотношение

В пределе при из (58) получим

Так как в точках функция имеет разрывы, то все предыдущие результаты были получены в предположении, что . В этих точках, очевидно,

Если случайные приращения координаты могут принимать только дискретные целочисленные значения, то функцию следует вычислять для поглощающих экранов, расположенных в точках и . Тогда непрерывная справа функция будет по-прежнему описывать характеристики блужданий между отражающими экранами, помещенными на концах отрезка и для остаются в силе формулы (58) и (59).

Может показаться, что для вычисления равновесного распределения при случайных блужданиях между отражающими экранами могут быть использованы приближенные выражения для вероятностей поглощения, полученные при помощи тождества Вальда. Однако эти выражения справедливы в том случае, когда экраны расположены достаточно далеко от начальной точки. При этом на основании (59) может быть вычислено равновесное распределение , когда расположено примерно посредине между экранами. Для вероятностей же пребывания на отражающих экранах, которые представляют наибольший интерес, мы не получим даже приближенных выражений.

Пример 5. Простые случайные блуждания. В случае простых одномерных случайных блужданий между отражающими экранами, расположенными в точках , равновесное распределение вероятностей согласно (4.53) имеет вид

По определению,

Рассмотрим простые одномерные случайные блуждания между поглощающими экранами, расположенными в точках и . Пусть обозначает вероятность поглощения из начального состояния на нижнем экране. Тогда из формулы (4.42) имеем

Следовательно, , что наглядно иллюстрирует справедливость (59) в данном частном случае.