24. Статистические характеристики ФАП при воздействии нормального шума и пуассоновских импульсов

Возвратимся к анализу работы ФАП первого порядка (рис. 22.2). Однако теперь, в отличие от §22, рассмотрим другой, более общий случай, когда на входе ФАП первого порядка имеется сумма нормального шума и случайной последовательности дельта-импульсов

Здесь — случайные, взаимонезависимые «амплитуды» импульсов, имеющие известную плотность вероятности ; — случайные моменты появления дельта-импульсов, не зависящие от , и описываемые законом Пуассона: вероятность появления импульсов в интервале времени Т равна

где — параметр пуассоновского закона. Относительно нормального шума сохраним прежние допущения (см. (22.13) и (22.14)).

Задача вычисления статистических характеристик ФАП первого пордка в стационарном режиме работы при сформулированных условиях решалась Дж. Олсоном 1961. Оставляя в силе прежние соглашения (см. § 22) и повторив рассуждения, приведшие к уравнению (22.20), получим, что в данном случае поведение ФАП будет описываться стохастическим дифференциальным уравнением

где

можно трактовать как нормальный белый шум с функцией корреляции (22.14).

По своему содержанию наша задача аналогична рассмотренной в § 23 и для решения ее в принципе можно воспользоваться уравнением Колмогорова — Феллера (23.6). Однако записать соответствующее уравнение Колмогорова — Феллера затруднительно. Это связано с тем, что стохастическое дифференциальное уравнение (3) является нелинейным и нельзя записать его решение в виде квадратур. Поэтому нельзя найти явное выражение для функции , учитывающей скачкообразный характер изменения разности фаз из-за наличия дельта-импульсов. Отметим, что такое затруднение применительно к нелинейным системам носит, как правило, общий характер.

Опираясь на результат (23.41), укажем пока один частный случай, когда можно легко учесть наличие пуассоновских импульсов. Если импульсы следуют очень часто (выполняется условие ), то имеет место явление нормализации. При этом наличие пуассоновских дельта-импульсов будет эквивалентно дополнительному входному нормальному белому шуму со спектральной интенсивностью . Следовательно, при будут применимы все ранее полученные результаты, относящиеся к ФАП первого порядка, нужно лишь в соответствующих формулах заменить на .

Укажем другую особенность уравнения (3). Из-за наличия в правой части пуассоновских импульсов условие (11.9) теперь не выполняется. Поэтому марковский процесс не является диффузионным и нельзя пользоваться обычным уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова (11.16), а необходимо применять обобщенное уравнение (11.20):

где

— условное приращение разности фаз за малый интервал времени .

Прежде чем перейти к вычислению коэффициентов , несколько упростим форму записи импульсного шума . Так как при , то можем написать

Если под понимать собственные флуктуации синхронизируемого гетеродина, то согласно (21.55) приведенная фаза будет распределена равномерно в интервале . К такому же результату можно прийти путем физических рассуждений и в том случае, если на входе ФАП стоит селективный линейный фильтр, настроенный на частоту сигнала и имеющий достаточно большую полосу пропускания , исключающую наложение выходных импульсов [97]. С учетом сказанного выражение для можно записать иначе

— взаимонезависемые случайные величины, причем распределены равномерно в интервале .

Так как математические ожидания и равны нулю, то из стохастического уравнения ФАП (3) следует, что

Для из (3) имеем

Очевидно, что при второе математическое ожидание в правой части (9) равно единице. При вследствие статистической независимости случайных величин и его можно представить в виде

где

(24.10)

Для рассматриваемых пуассоновских импульсов вероятность появления в малом временном интервале двух и большего числа импульсов пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного импульса, которая согласно (2) равна . При наличии внутри одного импульса случайная величина равна единице, а в отсутствии импульса равна нулю. Вероятности этих несовместных исходов равны соответственно и . Поэтому . Учтем, что

где — гамма-функция.

В результате подстановки выписанных выражений в (9) имеем

Если воспользоваться известными выражениями многомерных моментов нормального. процесса через корреляционную функцию [30] и учесть формулу (22.14) для функции корреляции белого шума , то можно убедиться, что первое математическое ожидание в правой части (12) равно единице при и равно нулю для при . Второе математическое ожидание при отлично от нуля и равно только при .

Таким образом приходим к следующим окончательным выражениям для коэффициентов :

(24.13)

Видно, что коэффициенты не зависят от времени и являются периодическими функциями аргумента .

Полагая в (5) , для стационарной плотности вероятности получим следующее уравнение:

где параметры определены формулой (22.40),

(24.15)

Стационарная плотность вероятности приведенной разности фаз, если она существует, не зависит от начальной плотности вероятности. Поэтому нужно искать решение полученного уравнения (14), удовлетворяющее только условию периодичности (22.37) и условию нормировки (22.38):

Учитывая, что коэффициенты уравнения (14) являются периодическими функциями с периодом , решение можно искать в виде ряда Фурье

Так как есть действительная функция аргумента , то, очевидно, будет выполняться равенство

(24.18)

где звездочкой сверху обозначена комплексно-сопряженная величина. Кроме этого, из условия нормировки (16) следует, что

(24.19)

Подставив в (14) выражение плотности вероятности из (17) и равенство , после дифференцирования и приведения подобных членов получим

(24.20)

где обозначено

Если здесь поменять местами порядок суммирования и операцию математического ожидания, то, воспользовавшись представлением функции Бесселя первого рода нулевого порядка в виде ряда [19], можем написать

(24.22)

Следовательно, для коэффициентов получаем формулу

(24.23)

Так как , то . Кроме этого, и поэтому . Преобразование (23) тесно связано с преобразованием Ганкеля нулевого порядка (47), при помощи которого для могут быть получены аналитические выражения при наиболее распространенных видах плотностей вероятностей [96].

Поскольку функции линейно-независимые, то из (20) для коэффициентов следует уравнение в конечных разностях

(24.24)

Таким образом, решение дифференциального уравнения неограниченного порядка (14) сводится к решению разностного уравнения второго порядка (24), что существенно упрощает задачу.

Для получения решения уравнения (24) необходимо задать два граничных условия. В качестве одного из них, очевидно, может быть использовано равенство (19). Второе граничное условие следует из свойств коэффициентов Фурье. Так как плотность вероятности не имеет особенностей типа дельта-функций, то

(24.25)

С учетом равенств (18) и (19) уравнение (24) можно привести к виду

Чтобы найти плотность вероятности , нужно решить систему уравнений (26) с граничными условиями (19) и (25) при . При этом следует иметь в виду, что коэффициенты являются комплексными числами.

Получить аналитическое решение уравнения (26) с граничными условиями (19) и (25) затруднительно. Для численного решения на ЦВМ можно воспользоваться известным методом прогонки [97] либо процедурой, предложенной в [95]. Укажем последний способ, так как он не требует запоминания массивов дополнительных значений констант.

В силу линейности системы уравнений (26) значение при произвольном линейно связано с , т. е.

(24.27)

где коэффициенты и не зависят от .

Задаваясь произвольными значениями и и решая два раза систему (26), можно найти два значения и . Тогда из (27) получим

Следовательно, приближенное значение , которое согласно (25) обращает в нуль при достаточно большом на основании (27) равно

Величина при увеличении в пределе стремится к истинному значению . Подобная процедура сравнительно просто реализуется на ЦВМ.

После того, как коэффициент будет найден с требуемой степенью точности, остальные коэффициенты , легко определяются из (26). Эти значения коэффициентов затем подставляются в (17) и таким образом определяется плотность вероятности . Для проверки работоспособности алгоритмов можно воспользоваться ранее полученным частным результатом (22.45), дающим при .

Уравнение (14) можно свести к ннтегродифференциальному уравнению Колмогорова — Феллера (см. §23.6). Если подставить выражение для из (17) и воспользоваться вторым равенством (21), то нетрудно убедиться, что

Сумму в правой части этого равенства можно представить в виде

где

(24.31)

С учетом выражений (29) и (30) из (14) получаем уравнение Колмогорова — Феллера

(24.32)

Отметим, что введенная нами функция определяется неоднозначно, так как при любом целом к можно использовать любую функцию , удовлетворяющую соотношению

(24.33)

Например, можно использовать функцию , являющуюся обратным преобразованием Фурье от по непрерывному индексу , т. е.

(24.34)

Для решения гштегродиффереициального уравнения (32) с условиями (16) требуется знание аналитического выражения , получить которое из (31) затруднительно. Однако соотношение (34) совместно с выражением (23) позволяют найти эту зависимость для широкого класса плотностей вероятностей . Несмотря на это решить уравнение (32) не удается. Поэтому ограничимся рассмотрением некоторых частных случаев.

Предположим, что пуассоновские импульсы имеют большие амплитуды, т. е. плотность вероятности сосредоточена в окрестности больших значений . Учитывая асимптотическое соотношение , из (23) получим, что и при . Из (31) следует, что в этом случае , и уравнение Колмогорова — Феллера (32) упрощается

(24.35)

Видно, что в данном асимптотическом случае стационарная плотность вероятности вообще не зависит от характеристик амплитуд импульсов.

Получить аналитическое решение уравнения (35) затруднительно. Результаты решения описанным выше численным методом на ЦВМ для нескольких значений параметра при и приведены на рис. 24.1 [96].

Если в дополнение к большим амплитудам импульсов принять, что отсутствует аддитивный белый шум , то (35) переходит в линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Рис. 24.1. Стационарная плотность вероятности разности фаз при наличии белого шума и больших пуассоновских импульсов.

Решение этого уравнения всегда может быть записано в квадратурах. Оно оказывается особенно простым при :

Для целых значений отсюда получим: при

при

Отметим, что плотность вероятности при не ограничена, a при ограничена.

Результаты, аналогичные приведенным выше, для ФАП второго порядка, когда на нее воздействует сумма нормального шума и пуассоновских импульсов, получены численными методами в работе [98].