Связь уравнения Понтрягина с уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова

Решение задачи о вычислении вероятностей или можно получить несколько иначе, базируясь на прямом и обратном уравнениях Фоккера—Планка—Колмогорова. Из соотношений (2), (4) следует, что

(26.42)

Напомним, что есть плотность вероятности перехода из первоначальной точки в какую-либо внутреннюю точку интервала для тех траекторий процесса , которые до момента времени ни разу не достигли границ и, следовательно, находятся внутри интервала в любой предыдущий момент времени. Для этих траекторий справедливы прямое и обратное уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, которые применительно к рассматриваемому однородному во времени одномерному процессу имеют соответственно вид

(26.44)

Поскольку нас интересуют вероятности и как функции начального состояния при фиксированных конечных значениях процесса ( или ), то представляется естественным для нахождения этих вероятностей воспользоваться обратным уравнением (44). Действительно, из соотношения (4) после интегрирования (44) по 5 получим уравнение Понтрягина (9). Можно поступить иначе: сначала найти решение (44) при поглощающих граничных условиях

(26.45)

и начальном условии

(26.46)

а затем воспользоваться соотношением (4).

Можно также вычислить вероятности и при помощи решения прямого уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. Действительно, пусть найдено решение прямого уравнения (43) при начальном условии (46) и поглощающих граничных

условиях

(26.47)

Граничные условия (47) следуют из того, что необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения те траектории процесса которые хотя бы один раз вышли за границу отрезка к моменту времени . Для этого необходимо запретить этим траекториям возвращаться внутрь интервала после того, как они впервые вышли за его пределы. Так как одномерный марковский процесс недифференцируем, то его траектория, подходя к границе, успевает бесчисленное множество раз пересечь ее. Поэтому в граничных точках и при решении задач о достижении границ одномерным марковским процессом необходимо поместить поглощающие экраны (см. также § 27).

Вероятность вычисляется интегрированием по формуле (42), а вероятность того, что границы будут достигнуты за время от до определяется согласно формуле (4).

Отметим, что решение уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова с граничными условиями (47) позволяет при помощи (4) найти вероятность достижения заданных границ неоднородным марковским процессом , у которого коэффициенты сноса и диффузии зависят от времени.

Если одна из границ, например , является отражающей, то вероятность достижения границы может быть также получена из решения прямого уравнения (43) с начальным условием (46) и граничными условиями

(26.48)

Поясним происхождение второго условия (48), Пусть в некоторый момент времени , принимаемый за начальный, частица оказалась на границе . Тогда за последующий небольшой интервал времени частица, отразившись от экрана , с вероятностью может переместиться вправо на малую величину и с вероятностью может остаться на границе. Можно убедиться, что

или

Отсюда имеем

Переходя в последнем выражении к пределу при и учитывая, что , придем ко второму условию (48).

Таким образом, из решения прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова может быть найдена вероятность выхода из области, одна из границ которой является отражающей. Кроме того, в некоторых случаях оказывается проще решить уравнение (43) с граничными условиями (47), чем решать непосредственно уравнение Понтрягина (9). Для этого иногда можно воспользоваться известным нестационарным решением (43) в неограниченной области. Чтобы проиллюстрировать эти положения, рассмотрим два примера.

Пример 3. Пусть, как и в примере 1, требуется определить вероятность невыхода за границы траектории винеровского процесса , поведение которого описывается стохастическим дифференциальным уравнением (28) (см. § 14).

В этом случае условная плотность вероятности на неограниченном интервале является фундаментальным решением прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова

(26.49)

т. е. решением уравнения (49) с начальным условием

И граничными условиями

Согласно (14.20) оно имеет вид

Чтобы построить решение прямого уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова (49) с граничными условиями (47), зная фундаментальное решение для бесконечно удаленных границ, воспользуемся известным математическим методом отражения [37].

Предварительно заметим, что после замены переменных задача сводится к нахождению решения уравнения

с начальным условием

(26.51)

и граничными условиями

(26.52)

Фундаментальное решение в новых переменных записывается в виде

Помещая положительные источники в точках и отрицательные источники в точках эти точки являются зеркальными отражениями точки относительно границ отрезка , представим искомое решение уравнения (50) с граничными условиями (52) с помощью ряда

Это можно сделать, так как уравнению (50) удовлетворяет любая функция , где — произвольная постоянная. Нетрудно убедиться, что ряд (53) удовлетворяет также начальным (51) и граничным (52) условиям.

Согласно формуле (42) вероятность невыхода к моменту времени траектории винеровского процесса за границы равна

Предварительно вычислим значение интеграла

где — интеграл вероятности.

Переходя в последнем выражении к старым переменным, получим

(26.54)

Хотя полученное выражение (54) по форме отличается от (29), можно показать [37], что они эквивалентны.

Пример 4. Рассмотрим одномерный марковский процесс, поведение которого описывается стохастическим дифференциальным уравнением

(26.55)

где — нормальный белый шум. В этом случае прямое уравнение Фоккера - Планка — Колмогорова для плотности вероятности имеет вид

(26.56)

Решение уравнения (56) с начальным условием в неограниченной области представляет собой хорошо известную нормальную плотность вероятности (15.26). Чтобы определить вероятность невыхода к моменту времени траектории марковского процесса за границы нужно решить уравнение (56) с тем же начальным условием и нулевыми граничными условиями на концах интервала. Будем искать это решение методом разделения переменных. В данном случае, применительно к процессу (55), решать уравнение (56) этим методом проще, чем непосредственно уравнение Понтрягина (9).

Заменой переменных уравнение (56) приводится к виду

Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению (57), начальному условию

(26.58)

и граничным условиям

Будем искать решение в виде

(26.60)

Применяя обычную процедуру разделения переменных, для функций и получим

Общее решение (62) при ограниченных значениях согласно [19] имеет вид

где — функция параболического цилиндра.

Поступая далее аналогично п. 1, для определения собственных чисел получим характеристическое уравнение

(26.64)

Собственные функции определяются соотношением

Таким образом, будем иметь

(26.66)

Постоянные определяются из начального условия (58). Для этого умножим обе части последнего равенства на и проинтегрируем по при по всем . Так как функции ортогональны, то получим

(26.67)

Вероятность нахождения к моменту времени t траектории процесса внутри границ интервала ни разу его не покинув, можно получить обратной заменой переменных в соотношении

(26.68)

Результаты конкретных вычислений, полученные в [109] и приведенные в [66], показывают, что ряд (66) довольно быстро сходится и хорошо аппроксимируется несколькими первыми членами.