22. Статистическая динамика синхронизируемого генератора и фазовой автоподстройки частоты

Явление синхронизации нашло широкое применение в радиофизике и технике. Приведем несколько конкретных примеров, показывающих практическое использование явления синхронизации.

В измерительных задачах физики часто применяются фазовые методы, при которых оценка той или иной физической величины производится на основе измерения разности фаз двух колебаний. Таким путем, в частности, была точно измерена скорость распространения электромагнитных колебаний. Этот же принцип используется в радиодальномерах, содержащих когерентный синхронный гетеродин.

Исследования ядерных реакций, проводимые на циклотронах, предполагают высокую стабильность параметров отклоненного пучка ускоренных ионов и частоты ускоряющего напряжения. Расстройка резонансной системы приводит к значительному снижению напряжения на дуантах. Для устранения этого необходимо автоматически подстраивать либо задающий генератор под собственную частоту дуантного контура, либо дуантный контур под частоту генератора. В качестве системы регулирования часто используют фазовую автоподстройку частоты.

При запусках искусственных спутников Земли и ракет чрезвычайно важным является знание параметров их орбит. Измерение параметров движения может производиться различными методами (интерференционный, доплеровский и др.), но для всех них характерно использование либо высокостабильного, либо синхронного генератора. Одним из основных элементов подобных устройств являются синхронизируемый генератор или системы фазовой автоподстройки частоты.

Для решения ряда радиофизических задач требуются высокостабильные сверхвысокочастотные колебания. Существующие клистронные и магнетронные генераторы, как правило, не обладают нужной стабильностью. Для повышения стабильности частоты таких генераторов их синхронизируют маломощными колебаниями от высокостабильных эталонных генераторов (например, кварцевых или квантовых).

В телевидении устройства синхронизации нашли широкое применение для синхронизации строчной и кадровой разверток. В системах цветного телевидения синхронизация необходима для восстановления в приемниках поднесущих частот.

Из других применений устройств синхронизации можно указать системы службы времени, синхронное радиовещание, когерентную радиолокацию, некоторые виды фазовой радионавигации и др.

Явление синхронизации автоколебательных систем принадлежит к числу наиболее сложных задач теории колебаний вследствие многообразия и тонкости эффектов, наблюдаемых при синхронизации даже гармоническим внешним колебанием, а также вследствие принципиально нелинейного характера происходящих явлений.

Рис. 22.1. Взаимнокорреляционный приемник.

Основы теории синхронизации были заложены в начале тридцатых годов работами Ван-дер-Поля, А. А. Андронова, А. А. Витта и др. [76].

В последние двадцать лет стал проявляться повышенный интерес к изучению влияния флуктуационных воздействий на процессы синхронизации, т. е. к статистической динамике процесса синхронизации- Одним из существенных толчков, стимулирующих и оправдывающих эти исследования, является следующий факт, хорошо известный в теории оптимального радиоприема: когерентные методы обеспечивают наибольшую помехоустойчивость приема сигнала на фоне аддитивного флуктуационного шума [30].

Схема оптимального (когерентного) приемника для приема детерминированного радиосигнала на фоне аддитивного флуктуационного шума приведена на рис. 22.1. Приемник содержит иеремножитсль, интегратор и пороговое устройство. На один вход перемножителя подается принятое колебание , а на другой - опорный сигнал .

Если приемник и передатчик расположены в одном месте (радиолокация), то в качестве опорного сигнала на приемной стороне можно использовать колебания местного гетеродина или импульсы передатчика, задержанные линией задержки. Интенсивность колебаний гетеродина обычно настолько велика, что мешающими напряжениями, сопровождающими эти импульсы, можно пренебречь. Опорное напряжение будет совпадать по форме с принимаемым полезным сигналом (без учета искажений принимаемого сигнала). В данном случае важным является требование высокой стабильности частоты колебаний гетеродина (за время обработки фаза колебаний гетеродина не должна существенно изменяться).

Сложнее обстоит дело с формированием опорного напряжения в радиосвязи, когда передающее и приемное устройства пространственно разнесены. Считая фазовые флуктуации радиосигнала, возникающие при распространении радиоволн через турбулентную среду, медленными, здесь для формирования опорного сигнала иногда применяют синхронизируемый генератор, а чаще всего — различные скемы фазовой автоподстройки частоты (ФАП).

В последнее время на базе оптимальной нелинейной фильтрации марковских сообщений было показано [77], что ФАП является необходимым элементом оптимального приемника при более сложных видах радиосигналов и помех.

Получим стохастические дифференциальные уравнения, описывающие поведение синхронизируемого генератора и ФАП при наличии флуктуационного шума.

Уравнение синхронизируемого генератора [78]. Возвратимся к схеме автогенератора, изображенной на рис. 21.2. Оставляя в силе предположения, принятые ранее в § 21 п. 2, будем теперь считать, что в уравнении (28) внешняя воздействующая сила состоит из суммы синхронизирующего гармонического сигнала и флуктуацноного шума :

Тогда уравнение (30) примет вид

Если перейти здесь к амплитуде и фазе вынужденных колебаний (21.31) и принять расстройку между собственной частотой автогенератора и частотой синхронизирующего сигнала малой

то придем к следующей системе из двух уравнений

Здесь - величина начальной расстройки по частоте,

Предположим, что генератор является слабонелинейной колебательной системой и колебания в нем близки к гармоническим. Это означает, что амплитуда и фаза будут медленно изменяющимися функциями времени

где — произвольный промежуток времени, имеющий порядок периода колебаний.

Чтобы эти условия «медленности» выполнялись, необходимо наложить, помимо неравенства (2), следующие дополнительные ограничения на параметры генератора и величины внешних воздействий:

Первое из этих условий обеспечивает слабую нелинейность системы, второе — достаточную малость синхронизирующего сигнала и третье — малость флуктуаиионного шума. Совместное выполнение первых двух условий гарантирует применимость укороченных уравнений в отсутствие флуктуационных воздействий; третье условие по существу говорит о малой дисперсии фазовых флуктуации, т. е. о выполнимости второго из неравенств (4).

Будем в дальнейшем считать, что флуктуационный шум имеет малое время корреляции и его в рассматриваемой задаче можно трактовать как нормальный стационарный белый шум с нулевым средним значением и дельта-функцией корреляции

Тогда последнее из неравенств (5) можно записать иначе

Следовательно, при выполнении условий (5) в уравнениях (3) можно опустить быстро осциллирующие члены и и ограничиться рассмотрением укороченных уравнений для амплитуды и фазы

Для упрощения флуктуационных членов поступаем точно так же, как в § 21 п. 2 при переходе от уравнений (21.35) и (21.37). Тогда вместо (7) придем к следующей окончательной системе двух стохастических уравнений

где и — взаимонезависимые нормальные случайные процессы с нулевыми средними значениями и дельта-функциями корреляции

Рис. 22.2. Функциональная схема фазовой автоподстройки частоты.

Уравнение ФАП [79]. Принцип работы фазовой автоподстройки частоты в отсутствие помех можно уяснить на примере простейшей функциональной схемы (рис. 22.2). Гармонические колебания генератора сигнала (ГС) и синхронизируемого (подстраиваемого) гетеродина (СГ) воздействуют на фазовый детектор (ФД), на выходе которого получается напряжение, зависящее от разности фаз колебаний и . Это напряжение через посредство фильтра низкой частоты (ФНЧ) и управляющего элемента (УЭ) изменяет частоту синхронизируемого гетеродина, приводя ее к совпадению с частотой генератора сигнала. При этом устанавливается некоторая постоянная разность фаз между колебаниями генератора сигнала и гетеродина, обеспечивающая синхронную работу обоих генераторов.

Анализу процессов, происходящих в системе ФАП, посвящено много работ (подробную библиографию см. в [80, 122]). Исследование схемы ФАП даже в отсутствие случайных воздействий представляет собой довольно сложную задачу, связанную с решением нелинейных дифференциальных уравнений. Она еще более усложняется, если учитывать атияние помех. При этом в практических условиях работы ФАП имеют место как внешние помехи, так и флуктуации, органически присущие самим элементам схемы. В дальнейшем примем, что на фазовый детектор совместно с сигналом воздействует аддитивный внешний шум .

При выводе дифференциального уравнения, описывающего поведение системы ФАП, сделаем следующие допущения: 1) все звенья ФАП, за исключением фильтра низких частот, являются безыиерционными;

2) фазовый детектор представляет собой перемножающее устройство, т. е. имеет синусоидальную характеристику; 3) характеристика управляющего элемента в пределах рабочего участка является линейной; 4) аддитивный шум можно рассматривать как нормальный белый шум с корреляционной функцией (6).

Пренебрегая амплитудными флуктуациями колебаний генераторов, можем написать

Здесь и — постоянные амплитуды, — средние частоты, и -случайные фазы колебаний. Если учитывать только собственные флуктуации генераторов, то случайные фазы и будут определяться уравнением типа (21.44).

Обозначим коэффициент преобразования перемножителя через . Тогда напряжение на выходе перемножителя равно

Полагая, что фильтр низких частот с операторным коэффициентом отфильтровывает комбинационные высокочастотные составляющие, на выходе фильтра получим напряжение

где

Согласно (6) функция корреляции равна

Если средняя частота синхронизируемого генератора линейно зависит от напряжения на входе управляющего элемента (например, лампы реактивного сопротивления), то

Здесь — средняя частота синхронизируемого генератора при , т. е. при разомкнутой петле регулирования; s — крутизна линейного участка характеристики управляющего элемента.

Учитывая, что согласно (12)

и подставив сюда выражения и из (10), а значение из (15), получим

где — начальная расстройка генераторов по частоте.

Подставив в (16) выражение из (11), имеем

(22.17)

где — полоса синхронизации (удержания)

(22.18)

Уравнение (17) полностью описывает процессы в системе ФАП при наличии внешних помех и собственных нестабильностей генераторов. В дальнейшем эти нестабильности мы учитывать не будем, т. е. ограничимся рассмотрением уравнения

Приведем три конкретных частных случая уравнения (19). Если считать фильтр низких частот идеальным, т. е. если его коэффициент передачи равен единице для низких частот и нулю для высоких, то и для разности фаз получим стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка

(22.20)

Схему ФАП, описываемую этим уравнением, будем называть ФАП первого порядка.

Когда фильтром низких частот является интегрирующая цепочка коэффициент передачи , и из (19) получим стохастическое дифференциальное уравнение второго порядка

(22.21)

Соответствующую схему можно назвать ФАП второго порядка.

Если в качестве ФНЧ используется пропорционально-интегрирующий фильтр, то

Подставив (22) в (17) и введя обозначение

из (19) получим систему двух стохастических дифференциальных уравнений первого порядка

(22.24)

Для двухкомпонентного марковского процесса по формулам (19.39) находим коэффициенты, определяющие уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова,

(22.25)

Сравнивая второе уравнение (8) с уравнением (20), заключаем, что они будут подобны друг другу, если в (8) заменить случайную амплитуду А на постоянную амплитуду , что во многих практических случаях правомерно (см. ниже (33)). Разумеется, что ФАП является более гибкой системой, чем синхронизируемый генератор, поскольку схема ФАП содержит большее число независимых параметров, которыми можно варьировать по желанию. Поэтому в устройствах синхронизации преимущественное применение находят различные схемы ФАП, а не синхронизируемый генератор. При этом в таких устройствах наибольший практический интерес представляет точность слежения за фазой полезного сигнала. Поэтому отложим пока решение уравнений (8) и (20), а рассмотрим сначала качественную картину статистической динамики, т. е. качественную картину поведения разности фаз на примере уравнения (20).

Статистическая динамика. В стационарном состоянии при отсутствии шума из (20) имеем . Следовательно, нормальный синхронный режим работы системы возможен лишь при условии . Так как синус — периодическая функция, то характерной особенностью системы (20) является то, что она при имеет счетное число состояний равновесия, из которых устойчивым состояниям соответствуют значения

а неустойчивым

(22.27)

Качественно поведение системы при наличии шума будет следующим. Пусть имеется достаточно большой ансамбль идентичных систем, которые в начальный момент времени имеют одинаковое фиксированное значение , например, . Воздействующий шум влияет на поведение системы двояким образом. Во-первых, из-за слабых шумовых воздействий значения в разных системах с течением времени окажутся разбросанными в окрестности начального устойчивого состояния равновесия .

Во-вторых, достаточно интенсивные шумовые воздействия могут вывести систему из области притяжения к устойчивому состоянию равновесия , в результате чего система перейдет в окрестности соседних состояний равновесия , и т. д. С течение времени вероятности подобных переходов, которые принято условно называть перескоками фазы, возрастают, причем система из состояния равновесия в свою очередь будет переходить в соседние состояния и т. д.

Рис. 22.3. Качественный характер изменения плотности вероятности полной фазы во времени при .

Обозначим через условную плотность вероятности того, что система, имеющая в некоторый начальный момент времени значение , через время будет иметь значение разности фаз . Характер изменения этой плотности вероятности перехода для случаев и показан на рис. 22.3 [81].

При плотность вероятности является дельтообразной: . Спустя некоторое время плотность вероятности перехода будет мультимодальной функцией , причем моды (максимумы) будут расположены около устойчивых положений равновесия, отстоящих друг от друга на . Центральным максимум будет наибольшим, а боковые будут уменьшаться по мере удаления от центрального.

Так как для в каждый момент времени должно выполняться условие нормировки

то с течением времени происходит увеличение числа боковых мод, которое сопровождается соответствующим уменьшением центральной и близко к ней расположенных мод. В пределе при функция расплывается по всей бесконечной оси .

Различие между характером плотностей вероятностей перехода при и состоит в том, что в первом случае боковые моды, симметрично расположенные относительно центральной, одинаковы, а во-втором — неодинаковы. При для перехода разности фаз в сторону ее увеличения на (например, из в ) требуется шумовое воздействие меньшем интенсивности, чем для уменьшения на (т. е. перехода из в ). Поэтому число переходов в сторону увеличения разности фаз будет превалировать над числом переходов в сторону уменьшения разности фаз. Соответственно этому при боковые моды, расположенные справа от центральной, будут превосходить аналогичные моды, расположенные слева от нее.

Необратимые уходы (перескоки) фазы на целое число периодов от исходного, первоначального положения равновесия возможны в обе стороны. Число таких перескоков за конечный интервал времени в разных направлениях всегда различно. Поэтому «средняя» частота синхронизируемого генератора (определенная за конечный интервал времени) не будет совпадать с частотой синхронизируемого сигнала. Увеличение начальной расстройки и уменьшение отношения сигнал/шум приводит все к большему проявлению этого эффекта.

Выше говорилось о полной разности фаз. В § 21 п. 2 отмечалось, что в некоторых задачах можно оперировать с разностью фаз, приведенной к интервалу . Плотность вероятности приведенной разности фаз получается путем «наматывания» прямой (рис. 22.3) на окружность.

Решение уравнений в стационарном состоянии. Найдем сначала стационарную плотность вероятности для амплитуды синхронизируемого генератора, определяемую системой уравнений (8). Так как в общем случае это сделать затруднительно, то ограничимся рассмотрением частного, но наиболее интересного случая, когда синхронизирующий сигнал имеет достаточно малую амплитуду, удовлетворяющую условию

(22.28)

При выполнении этого неравенства, во-первых, скорость установления амплитуды значительно больше, чем скорость установления фазы и, во-вторых, амплитуда вынужденных колебаний в отсутствие флуктуационных воздействий мало отличается от амплитуды автономных колебаний .

Чтобы убедиться в справедливости первого утверждения, нужно сравнить по величине коэффициенты при линейных членах в правых частях уравнений (8), поскольку именно они в основном определяют длительность переходных процессов. В уравнении для амплитуды коэффициент при линейном члене имеет порядок , а в уравнении для фазы — порядок . Следовательно, условие (28) действительно обеспечивает значительное более быстрое установление амплитуды, чем фазы.

Для проверки второго утверждения положим . Тогда в установившемся режиме и, следовательно, . Пусть , где — поправка, обусловленная наличием синхронизирующего сигнала. Подставив это выражение для в первое уравнение (8), разложив члены в ряд по и ограничившись в разложении членами первого порядка, получим для уравнение

Отсюда . Из условия (28) следует, что поправка будет малой .

Поскольку при условии (28) амплитуда меняется гораздо быстрее, чем фаза, то при каждом фиксированном значении фазы будет успевать установиться почти стационарное распределение по амплитуде. Это позволяет приближенно считать в первом уравнении (8) и искать условную стационарную плотность вероятности только с использованием первого уравнения, а не всей системы (8).

Из уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова

при находим стационарную плотность вероятности

(22.29)

Вводя обозначения

(22.30)

эту плотность вероятности можно записать компактнее

(22.31)

где — постоянная, определяемая из условия нормировки.

Сравнивая формулы (21.40) и (31), замечаем, что в последней формуле фигурирует дополнительный член . В данном случае, как нетрудно убедиться, наивероятнейшее значение безразмерной амплитуды равно

Дополнительный член обусловливает смещение наивероятнейшего значения безразмерной амплитуды на величину порядка которая в силу условия (28) является малой. Поэтому для условной плотности вероятности амплитуды остаются практически применимыми кривые, приведенные на рис. 21.3.

Несколько позже мы найдем безусловный закон распределения амплитуды, а сейчас перейдем к решению уравнения для фазы.

Решение второго уравнения (8) затруднено из-за наличия в правой части членов, содержащих случайную амплитуду . Однако для ряда практически интересных случаев можно упростить это уравнение. Предположим, что совместно выполняются неравенства

(22.32)

При таких ограничениях на амплитуду синхронизирующего сигнала и интенсивность флуктуационного шума амплитуда вынужденных колебаний будет мало отличаться от амплитуды автономных колебаний, т. е. будет выполняться неравенство . Оно позволяет заменить во втором уравнении (8) случайную амплитуду на постоянную :

С учетом разницы в обозначениях стохастические дифференциальные уравнения (20) и (33) полностью совпадают. В дальнейшем все вычисления будем проводить применительно к уравнению ФАП первого порядка (20). Все полученные ниже результаты будут справедливы и для синхронизируемого генератора; в этом случае нужно полагать .

Применительно к динамическому уравнению (20) с учетом (14) уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для плотности вероятности полной разности фаз имеет вид

(22.34)

Будем в дальнейшем интересоваться одномерной плотностью вероятности разности фаз, приведенной к интервалу . Чтобы решить эту задачу, заметим, что вследствие периодичности коэффициентов уравнения (34) по , если есть решение при начальном условии , то должно быть решением при начальном условии , где — произвольное целое число. Введем функцию [82]

Так как каждый член этого ряда является решением уравнения (34), то сумма бесконечного числа членов будет также решением (34). Поэтому она должна удовлетворять уравнению Фоккера— Планка—Колмогорова

при начальном условии

Кроме этого, должна быть периодической с периодом , так как

Следовательно, для нахождения можно решить уравнение (35) в интервале при начальном условии

(22.36)

при граничном условии

(22.37)

и условии нормировки

(22.38)

Хотя уравнение (35) линейно относительно Р, однако его решение осложнено нелинейностью переменных коэффициентов. Рассмотрим пока стационарное распределение, соответствующее условию . Из предыдущего качественного рассмотрения следует, что стационарное решение, если вообще существует, возможно только в пределе при . Обозначим стационарную плотность вероятности

Для нее из (35) получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

где

(22.40)

Параметр характеризует величину отношения сигнал/шум в полосе синхронизации, а — величину относительной начальной расстройки.

Проинтегрировав (39) один раз по , имеем

Решение этого линейного дифференциального уравнения первого порядка известно [391 и может быть записано в виде

(22.41)

где и — постоянные интегрирования.

Из граничного условия (37) при имеем . Это условие позволяет определить в (41) постоянную интегрирования :

Подставив это выражение в (41), после несложных преобразований получим

где С — новая постоянная. Если во втором слагаемом в фигурных скобках перейти к новой переменной интегрирования , то выражение для плотности вероятности запишется в более компактном виде

(22.42)

Применив условие нормировки. (38) для стационарной плотности вероятности, находим, ностоянную С:

Вместо введем новую переменную . Тогда получим

где — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргументам.

Выразим С через табулированные функции. Для этого разобьем интервал интегрирования на два подынтервала: и , причем: в первом подынтервале сделаем замену переменной , а во втором . В результате получим

Воспользовавшись известным интегралом [19]

приходим к выражению

(22.43)

где — табулированная функция Бесселя мнимого аргумента и мнимого индекса [83].

Подставив (43) в (42), получаем окончательную и основную формулу для стационарной плотности вероятности приведенной разности фаз

Рис. 22.4. Стационарные плотности вероятности приведенной разности фаз в отсутствие начальной расстройки .

В частном случае, когда начальная расстройка отсутствует , формула (44) существенно упрощается

(22.45)

На рис. 22.4 приведены графики плотностей вероятностей (для нескольких значений параметра ), построенные по формуле (45). Плотности вероятностей имеют симметричную форму с нулевым средним значением. По мере увеличения параметра от нуля до бесконечности плотности вероятности изменяется от равномерной до дельтообразной.

Действительно, если отношение сигнал/шум мало , то можно воспользоваться приближенными равенствами . При этом из (45) получим

(22.46)

Здесь — дисперсия разности фаз.

Когда отношение сигнал/шум велико и, следовательно, обеспечивается точное слежение за фазой сигнала , справедливы приближенные соотношения

В данном случае плотность вероятности (45) переходит в нормальную

В пределе при эта плотность вероятности превращается в дельта-функцию

Для промежуточных значений D дисперсию приведенной разности фаз при можно вычислить по формуле

(22.48)

которая получается на основании (45) с использованием разложения

Кстати, если воспользоваться этим разложением, то основную формулу (44) можно представить в виде [84]

(22.49)

При больших отношениях сигнал/шум из этой формулы можно получить более простое приближенное выражение [84]. Для этого нужно учесть следующие равенства [19]:

Тогда из (49) получим приближенную формулу

(22.50)

Мода этой плотности вероятности совпадает с первой точкой устойчивого равновесия .

Формула (49) позволяет найти среднее значение и дисперсию приведенной разности фаз в стационарном состоянии при наличии начальной расстройки . Соответствующие формулы имеют вид

где

Результаты вычислений среднего значения и стандартного отклонения представлены на рис. 22.5 и 22.6. Видно, что среднее значение и дисперсия фазовой ошибки растут с увеличением начальной расстройки по частоте, причем с приближением начальной расстройки к полосе синхронизации рост среднего значения замедляется, а дисперсии, наоборот, убыстряется

Плотности вероятности (42) при наличии начальной расстройки для нескольких значений параметров и D были рассчитаны на ЦВМ в работе [78] и воспроизведены на рис. 22.7 и 22.8 При наличии начальной расстройки плотности вероятностей остаются уни модальными, но становятся асимметричными.

Рис. 22.5. Зависимость среднего значения приведенной разности фаз от относительной начальной расстройки при различных отношениях сигналшум.

Рис. 22.6. Зависимость стандартного отклонения приведенной разности фаз от относительной начальной расстройки при различных отношениях сигналшум.

С увеличением начальной расстройки мода и среднее значение фазовой ошибки возрастают в сторону начальной расстройки. При этом дисперсия фазовой ошибки также увеличивается; она минимальна и равна (48) при и максимальном .

На рис. 22.9 для и нескольких значений приведены плотности вероятности (42) и интегральные функции распределения фазовой ошибки

(22.54)

Вычислим среднюю частоту синхронизируемого генератора в стационарном состоянии. Известно, что в отсутствие флуктуационных воздействий (т. е. при идеализации реальных процессов) частота колебаний генератора внутри полосы синхронизации совпадает с частотой синхронизирующего гармонического сигнала, а разность фаз между колебаниями равна постоянной величине , зависящей от параметров генератора, амплитуды синхронизирующего сигнала и начальной расстройки.

При этом имеет место полная передача стабильности по частоте от синхронизирующего сигнала синхронизируемому генератору. Однако наличие даже малых флуктуационных воздействий нарушает эту идеализированную картину. Из-за шума, помимо небольших случайных колебаний фазы, возможны срывы синхронизации: фзза может увеличиться или уменьшиться на период , т. е. генератор может произвести лишнее колебание или же, наоборот, пропустить одно колебание. В результате средняя частота синхронизируемого генератора не будет совпадать с частотой сигнала.

Рис. 22.7. Стационарные плотности вероятности приведенной разности фаз при различных начальных расстройках .

Рис. 22.8. Стационарные плотности вероятностей приведенной ревности фаз при различных начальных расстройках .

Пусть — среднее число скачков разности фаз на в единицу времени в сторону ее увеличения, а — аналогичное число скачков на в сторону уменьшения.

Тогда средняя частота синхронизируемого генератора равна или

(22.55)

где — разность среднего числа скачков разности фаз на в единицу времени.

Рис. 22.9. Стационарные плотности вероятности разности фаз (а) и соответсвующие им функции распределения (б) при различных начальных расстройках.

Согласно (10) и (12) среднюю частоту колебаний синхронизируемого генератора можно определить соотношением

Как и ранее, не будем учитывать собственные флуктуации сигнала и колебаний генератора. Для нахождения величины в стационарном состоянии воспользуемся уравнением (20):

Согласно определению (11.23) введем поток вероятности

В стационарном состоянии, как это видно, например, из (39), поток вероятности постоянен и не зависит от . Причем он равен введенной выше величине :

(22.59)

Из (58) имеем

Подставив это выражение в (57) и выполнив интегрирование с учетом условия (37), получим

(22.60)

Поток вероятности находим путем подстановки плотности вероятности (44) в (58):

(22.61)

Следовательно,

(22.62)

Рассмотрим три предельных частных случая этой формулы.

1. В отсутствие начальной расстройки , независимо от величины , имеем

При совпадении частоты синхронизирующего сигнала с частотой колебаний синхронизируемого генератора шум не изменяет среднюю частоту колебаний. В данном случае, несмотря на наличие скачков фазы, ввиду полной симметрии (рис. 22.3) средние значения чисел перескоков фазы вперед и назад равны и поэтому систематический поток вероятности отсутствует .

2. Очень большим шумам, как видно из (40), соответствуют . Используя известное равенство , из формулы (61), получим

(22.62б)

Таким образом, влияние синхронизирующего сигнала на фоне очень интенсивного шума не сказывается и средняя частота колебаний генератора остается равной ее начальному значению .

3. Воспользовавшись асимптотическими представлениями функций Бесселя мнимого индекса и мнимого аргумента, можно показать, что в противоположном крайнем случае, при очень малых шумах , справедлива формула

Эта формула описывает синхронизацию в отсутствие шума. Если начальная расстройка находится внутри полосы синхронизации, то имеет место синхронный режим работы. Когда начальная расстройка выходит за пределы полосы синхронизации, происходит частичное увеличение частоты колебаний генератора.

Более полные и содержательные результаты можно получить при помощи вычислений по формуле (62) с использованием таблиц [83]. На рис. 22.10 воспроизведены результаты, полученные таким путем И. Г. Акопяном [78] для нескольких значений параметра D.

Рис. 22.10. Зависимость разности средних частот от относительной начальной расстрийки при различных отношениях енгнал/шум .

Средняя частота синхронизируемого генератора всегда находится между собственной частотой генератора и частотой синхронизирующего, сигнала.

Рассмотрим несколько подробнее вопрос о числе перескоков разности фаз. Формула (61) определяет лишь разность среднего числа перескоков в противоположных направлениях. Результаты расчетов по формуле (61), выполненные В. С. Линдси [80], приведены на рис. 22.11. Чтобы найти величины и порознь, нужно привлечь дополнительные соображения. Можно воспользоваться аналогией с движением броуновских частиц в потенциальном поле [72] или же вычислить среднее время перехода из исходного устойчивого состояния равновесия в соседние [81] (см. также § 26).

Можно показать, что при умеренных отношениях сигнал/шум, когда скачки во времени описываются законом Пуассона, интересующие нас величины определяются формулой

(22.63)

Зависимость средних чисел перескоков разности фаз в единицу времени в противоположных направлениях от отношения сигнал шум приведена на рис. 22.12 для двух значений относительной начальной расстройки и 0,4 [80]. Заштрихованная облаеть определяет нормализованную разность средних чисел перескоков .

Число перескоков растет более быстро при малых отношениях сигнал/шум.

Из формулы (63) и графиков, видно, что в отсутствие начальной расстройки число перескоков в противоположных направлениях в среднем одинаково, но отлично от нуля. При наличии начальной расстройки и фиксированном значении D всегда превалирует число перескоков в сторону знака начальной расстройки, причем оно всегда больше, чем число перескоков при в одном направлении. Поэтому при заданном значении отношения сигнал/шум D наибольшая стабильность частоты синхронизируемого генератора достигается при .

Рис. 22.11. Зависимость разности средних чисел перескоков разности фаз в единицу времени в противоположных направлениях от отношения сигналшум при различных значениях относительной начальной расстройки.

Рис. 22.12. Зависимость средних чисел перескоков разности фаз в единицу времени в противоположных направлениях от отношения сигнал/шум.

Если перескоки в разных направлениях можно считать независимыми, то на основании формулы (63) находим среднее суммарное число перескоков в единицу времени

До сих пор рассматривались характеристики приведенной фазы , которая имеет стационарное распределение. Согласно полная (нестационарная) фаза равна

(22.65)

где — дискретная случайная величина, описывающая перескоки фазы и принимающая только целочисленные значения . Положительный знак соответствует перескоку на , отрицательный перескоку . Среднее число положительных перескоков в единицу времени равно , а отрицательных .

Наличие таких случайных перескоков обусловливает диффузионное расплывание полной фазы . При некоторых правдоподобных упрощающих условиях можно найти коэффициент диффузии полной фазы.

Предположим (см. § 26), что перескоки фазы в противоположных направлениях взаимонезависимы, моменты перескоков в каждом направлении представляют простейший поток событий, описываемый законом Пуассона. Обозначим через и случайное число соответственно положительных и отрицательных перескоков полной фазы за интервал времени . Вероятность получения в этом интервале k перескоков равна

Теперь выражение (65) можно записать иначе

Закон распределения случайной величины , представляющей разность двух независимых пуассоновских законов, определяется известной формулой (см. (30.89)):

где — функция Бесселя -го порядка от мнимого аргумента.

Считая и взаимонезависимыми случайными процессами, на основании (65) находим математическое ожидание полной фазы в момент времени

а также дисперсию

При достаточно больших дисперсия приведенной фазы стремится к стационарному значению . Поэтому

Приращение дисперсии полной фазы за интервал времени при больших равно

Коэффициент диффузии , характеризующий размытие полной фазы , равен

Рис. 22.13. Зависимость коэффициента диффузии полной фазы (среднего числа перескоков фазы в единицу времени) от отношения сигналшум при разных значениях относительной начальной расстройки.

Очевидно, что коэффициент диффузии для частоты колебаний генератора будет равен .

На рис. 22.13 приведены графики, характеризующие зависимость коэффициента диффузии полной фазы от отношения сигнал/шум при нескольких значениях относительной начальной расстройки [80]. Коэффициент диффузии уменьшается с увеличением отношения снгнал/шум. При одинаковых других условиях коэффициент диффузии минимален в отсутствие начальной расстройки и увеличивается при увеличении начальной расстройки.

Возвратимся теперь к рассмотрению плотности вероятности амплитуды синхронизируемого генератора (31). Зная стационарную плотность вероятности для приведенной фазы (44), можно найти безусловную стационарную плотность вероятности для амплитуды вынужденных колебаний генератора

Если подставить сюда (31) и (44), перейти к безразмерной амплитуде и обозначить ее плотность вероятности через , то получим

(22.71)

где — нормировочный коэффициент.

Проинтегрировать выражение (71) удается лишь в частном случае нулевой расстройки . В данном случае

(22.72)

где — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента,

Рис. 22.14. Плотности вероятностей безразмерной амплитуды вынужденных коллебаний синхронизируемого генератора .

На рис. 22.14 приведены графики плотностей вероятностей при и нескольких значениях параметров и [73].

O процессе установления разности фаз. Анализу различных характеристик ФАП в нестационарном режиме работы посвящено несколько работ [85—90]. С использованием обозначений (40) уравнение (35) принимает вид

(22.73)

где — безразмерное время.

Численное решение уравнения (73) на ЦВМ для нескольких значений параметров и при начальном условии

было выполнено И. Г. Акопяном. Ниже кратко приведена часть полученных им результатов [85].

Предполагается, что синхронизирующий гармонический сигнал с равномерно распределенной начальной фазой вида (74) начинает воздействовать на ФАП или синхронизируемый генератор в момент времени . В процессе установления, т. е. с течением времени , плотность вероятности приведенной разности фаз проходит все этапы эволюции от начальной равномерной (74) при до стационарной (44) при .

На рис. 22.15 изображены плотности вероятностей для пяти последовательных моментов времени при нулевой начальной расстройке по частоте и двух значений отношения сигнал/ шум. Плотности вероятностей в этом случае при всех значениях являются симметричными и унимодальными. При фиксированном значении с увеличением отношения сигнал/шум плотности вероятностей все больше концентрируются около нулевой начальной расстройки.

Рис. 22.16 соответствует одному и тому же значению отношения сигнал/шум и двум значениям начальной расстройки. При наличии начальной расстройки плотности вероятности остаются унимодальными, но становятся асимметричными; асимметрия увеличивается с увеличением начальной расстройки.

Отметим, что в отсутствие шума после включения синхронизирующего сигнала плотность вероятности разности фаз в процессе установления изменяется от равномерной (74) вначале до дельтообразной в пределе , где , — стационарное синхронное значение разности фаз (например, ).

Весьма важной практической характеристикой процесса синхронизации при наличии шума, помимо плотностей вероятностей, является вероятность нахождения разности фаз в заданной окрестности ожидаемого синхронного значения , на разных этапах установления.

Вероятность нахождения текущей разности внутри интервала , примыкающего к стационарному значению фазы , определяется соотношением

(22.75)

В стационарном состоянии это выражение принимает вид

Степень завершенности переходного процесса при выбранном интервале можно характеризовать отношением текущей вероятности (75) к ее стационарному значению

Рис. 22.15. Нестационарные плотности вероятностей приведенной разности фаз при пулевой начальной расстройке по частоте.

Вероятности приведены на рис. 22.17, а соответствующие им значения — на рис. 22.18.

Дополнительные сведения о статистических характеристиках ФАП в переходном режиме работы содержатся в [90]. В этой работе нестационарное решение уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова (73) ищется в виде произведения двух функций

где — стационарная плотность вероятности (44). В результате подстановки этого выражения в (73) получается дифференциальное уравнение в частных производных для функции . При этом количественные расчеты на ЦВМ для этого уравнения оказываются более простыми, чем для исходного уравнения (73).

Рис. 22.16. Нестационарные плотности вероятностей приведенной рвзиостн фаз при наличии начальной расстройки .

Статистические характеристики ФАП второго порядка в стационарном режиме. Применительно к ФАП с интегрирующим -фильтром, описываемой стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка (21), уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для стационарной плотности вероятности согласно (13.2) имеет вид

где

Рис. 22.17. Вероятность нахождения разности фаз в заданной окрестности синхронного значения.

Рис. 22.18. Степень завершенности переходного процесса.

Решение этого линейного параболического уравнения в частных производных должно удовлетворять граничному условию

и условию нормировки

Точное аналитическое выражение для решения уравнения (78), удовлетворяющего указанным условиям, удается получить лишь в частном случае нулевой начальной расстройки по частоте . Оно имеет вид [91]

(22.80)

Отсюда интегрированием по и в соответствующих пределах находим одномерные стационарные плотности вероятности для разности фаз и разности частот

(22.82)

Формула (81) совпадает с формулой (45). Плотность вероятности для разности частот является нормальной с нулевым средним значением и дисперсией .

Таким образом, если в момент включения синхронизирующего сигнала начальная расстройка по частоте была равна нулю, то средние частоты сигнала и синхронизирующего генератора в стационарном режиме работы ФАП совпадают, а дисперсия разности частот увеличивается при увеличении интенсивности внешнего шума и уменьшается с увеличением постоянной времени RC фильтра.

При наличии начальной расстройки по частоте можно искать решение уравнения (78) в виде бесконечного ряда по специальным полиномам [91] С учетом лишь первых двух членов ряда получается следующее решение

(22.83)

где .

Нетрудно убедиться, что приближенная формула (83) переходит в точную (80) при нулевой начальной расстройке по частоте .

Проинтегрировав выражение (83) по в соответствующих пределах, получим одномерные плотности вероятности для разности фаз и разности частот:

На основании формулы (85) находим среднюю разность частот и дисперсию этой разности

Зная совместную плотность вероятности , можно вычислить среднее число выбросов случайного процесса в единицу времени, превышающих заданный уровень :

Подставив сюда выражение (83) при и выполнив интегрирование, получим

При нулевой начальной расстройке по частоте эта формула упрощается

С наличием выбросов связаны перескоки фазы, о которых говорилось ранее. Задавая конкретные значения (например, ), можно вычислить среднее число перескоков фазы в единицу времени, характеризующее частоту нарушения синхронизации в системе ФАП (см. также § 28).