27. Достижение границ многомерным марковским процессом

Уравнения Понтрягина

В принципе известен метод решения задач о первом времени достижения границ и для многомерных марковских процессов. Пусть некоторая замкнутая область «слежении» многомерного пространства имеет границу и — часть этой границы. Интерпретируя многомерный марковский процесс как координаты случайной точки в рассматриваемой многомерной области, обозначим через вероятность того, что случайная точка, находящаяся в начальный момент времени в положении внутри области , в течение времени впервые выйдет из через часть границы .

Предполагается, что область выделена таким образом, что любой выход за ее пределы приводит к нарушению нормальной работы системы, поведение которой описывается рассматриваемым многомерным марковским процессом.

Обобщая рассуждения п. 3 § 26 на случай , получим, что вероятность определяется решением уравнения в частных производных (105):

Уравнение (1) следует решать при начальном условии

и граничных условиях

Начальное условие (2) следует из того, что частица при находится внутри области . Граничное условие (3) означает, что выделенная часть границы достигнута уже при , а условие (4) для точек, принадлежащих остальной части границы, означает, что достижение границы произошло уже при (частица вышла из области), но заведомо не на . При этом предполагается, что траектории многомерного марковского процесса могут выходить из области через любую точку границы Г. Рассмотрим подробнее условия, при которых выполняется последнее предположение [102, 103].

Пусть -мерный марковский процесс описывается системой стохастических дифференциальных уравнений

где — независимые винеровские процессы, у которых

— символ Кролскера.

При записи (5) в интегральной форме стохастические интегралы понимаются в симметризованном смысле (57). В этом случае производные в (5) приближенно могут быть заменены широкополосными гауссовскими процессами, что позволяет более корректно описывать при помощи -мерных марковских процессов поведение реальных радиотехнических устройств (см. § 19).

Ограничиваясь далее рассмотрением однородных марковских процессов, на основании определения симметрированных стохастических интегралов из (5) для коэффициентов сноса и диффузии однородного марковского процесса получим

Обозначим через — внешнюю нормаль к границе областий, где — направляющие косинусы внешней нормали. Выделим из Г регулярную часть границы для уравнения Понтрягина (1). По определению [103, 117, 118], точка принадлежит к регулярной части границы , если выполняется одно из следующих условий:

1) матрица диффузии не вырождена в направлении, нормальном к границе, т. е.

2) матрица диффузии вырождена в направлении внешней нормали к границе, но выполняется неравенство

Согласно (8) матрица диффузии В является неотрицательно определенной, т. е. для любых вещественных . В тех случаях, когда матрица диффузии не вырождена всюду в области , дифференциальное уравнение в частных производных (1) является параболическим. В противном случае, если матрица В вырождается хотя бы в одной точке области , оно относится к ультрапараболическому (эллиптико-параболическому) типу [117].

Условиям (9), (10) можно дать простое физическое объяснение. Действительно, если матрица диффузии вырождается в направленин внешней нормали к границе, то выполняется равенство

Учитывая, что коэффициенты диффузии связаны с коэффициентами стохастических уравнений (5) зависимостью (8), соотношение (11) эквивалентно выполнению условия

Последние равенства означают, что в направлении, нормальном к границе области , шумовое воздействие типа белого шума отсутствует. Поэтому нормальная к границе компонента процесса является дифференцируемой, что позволяет однозначно определить направление движения случайной точки вблизи границы Г. Принимая во внимание известную аналогию (см ) между уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова и уравнением диффузии, рассмотрим нормальную к границе области компоненту вектора потока

где круглые скобки, как обычно, означают скалярное произведение. Последнее равенство с учетом (12) приводится к виду

Если нормальная составляющая потока (13) в некоторой точке положительна, а матрица В вырождается, то в этой точке частицы двигаются по направлению внешней нормали, т. е. выходят из области . В противном случае, если (13) отрицательна, частица движется внутрь области. Учитывая, что , из (13) следует условие (10) регулярности границы для уравнения Понтрягина. Оно означает, что при вырожденной матрице диффузии частица может покинуть область только через регулярную часть границы .

Если матрица диффузии не вырождена в некоторой точке границы области , то согласно (12) составляющая -мерного марковского процесса, нормальная в этой точке к границе, недифференцируема. Поэтому, если частица попадает в окрестность этой точки границы, она обязательно ее пересечет независимо от направления потока. Этим объясняется условие регулярности границы (9).

Возвращаясь к граничным условиям (3), (4) для уравнения Понтрягина (1), из сказанного можно сделать вывод, что в общем случае эти условия должны быть заменены на

(27.15)

Таким образом, прежде чем решать уравнение Понтрягина (1), при помощи (9), (10) нужно выделить регулярную часть границы , через которую случайная точка может покинуть область . На регулярной части границы задаются краевые условия (14), (15). На остальной части границы значение определяется в процессе решения задачи.

Если интересоваться выходом случайной точки из области через часть регулярной границы не в течение определенного времени , а в течение всего времени, следующего за начальным моментом, то нужно перейти к пределу при . В этом случае следует положить

При этом уравнение (1) для принимает вид

Уравнение (16) следует решать с граничными условиями (14), (15), Отметим, что если матрица диффузии не вырождена, уравнение (16) является эллиптическим.

В том случае, когда совпадает с , функции и обращаются в единицу вдоль всей границы и, как нетрудно про верить, решением уравнения (16) является . Это означает, что вероятность случайной точки выйти из области где-либо и когда-нибудь равна единице.

Получим теперь дифференциальные уравнения для моментов распределения времени первого достижения интересующей нас части у регулярной границы из первоначального положения . Моменты распределения, если они существуют, определяются равенством

Здесь под понимаются условные моменты распределения времени первого достижения выделенной части регулярной границы, полученные при условии, что поглощение произошло именно на , а не на . Поэтому в определении (17) плотность вероятности в общем случае не нормирована, т. е.

Предполагая существование соответствующих производных, продифференцируем уравнение (1) по , затем умножим обе его части на проинтегрируем по от 0 до . Тогда получим

Согласно предположению о существовании (17) будем считать выполненным условие

В этом случае с учетом (19) имеем

(27.20)

и

(27.21)

Таким образом, подставив (20) в (18), получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений в частных производных для определения моментов распределения времени первого достижения части регулярной границы области вида

(27.22)

Здесь, в отличие от п. 4 §26, определяется соотношением (21). В частном случае при из (14) следует, что . Уравнение (22) следует решать при граничном условии

(27.23)

которое следует из (17), и из того, что на согласно (14), (15) величина не зависит от времени.

Отметим, что получить аналитическое решение уравнений (1) и (22) для большинства практически интересных задач, как правило, не удается даже в двумерном случае. При затруднительным становится и получение решения на ЦВМ.

Пример 1. При измерении угла вращения плоскости поляризации полезного сигнала статистическая динамика устройства слежения может быть описана [80] системой стохастических дифференциальных уравнений

(27.24)

(27.25)

Здесь — угол поляризации полезного сигнала, — ошибка слежения за фазой несущей, и — независимые нормальные белые шумы, у которых

Уравнения (24), (25) определяют двумерный марковский процесс с коэффициентами сноса и диффузии

(27.27)

Выделим на плоскости область и будем интересоваться первым выходом изображающей точки за границу этой области. В данном случае всюду в области согласно (27) выполняется условие (9). Поэтому вся граница является регулярной и изображающая точка может покинуть область через любую часть границы . Вероятность того, что случайная точка, находящаяся при в положении , в течение времени выйдет из области через часть границы , удовлетворяет уравнению

Если нас интересует первый выход изображающей точки, например, через часть границы , уравнение (28) следует решать с граничными условиями

Если нужно определить вероятность выхода случайной гочки из области через любую точку границы , то вместо (29) нужно брать

(27.30)

В любом случае, вне зависимости от , решение уравнения (28) должно удовлетворять начальному условию (2).

Среднее время первого достижения части границы согласно (22) удовлетворяет уравнению

(27.31)

с граничными условиями

(27.32)

Здесь — стационарное решение уравнения (28) с граничными условиями (29). Если , то, очевидно, .

Пример 2. Статистическая динамика системы ФАП второго порядка, у которой в качестве фильтра нижних частот используется интегрирующая цепочка RC, описывается [91] нелинейным стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка

(27.33)

где — нормальный белый шум и — разность фаз синхронизируемых генераторов, — средняя расстройка этих генераторов по частоте, — полоса удержания схемы ФАП, т. е. максимальная разяость частот генераторов, которую может компенсировать цепь управления (см. § 22).

Обозначив и , уравнение (33) можно записать в виде

Для системы ФАП второго порядка особые точки (точки устойчивого или неустойчивого состояния равновесия) расположены при [82]. При четных значениях они являются точками устойчивого состояния, а при нечетных — неустойчивого. Аналогично примеру 2 § 26, под срывом слежения за фазой сигнала на входе системы ФАП будем понимать первое достижение координатой ближайших точек неустойчивого состояния равновесия. Так как и в этом случае характеристики срыва слежения не зависят от того, в окрестности какого устойчивого состояния равновесия первоначально находилась система, срыв слежения можно отождествить с первым достижением процессом точек . При этом начальное значение . Такое определение срыва слежения фазой сигнала (нарушения синхронного режима работы системы ФАП) совпадает с [119].

Так как максимальная расстройка по частоте для сохранения нормального режима работы системы не должна превышать полосы удержания , срыв слежения произойдет также при достижении координатой значений .

Выделим на фазовой плоскости область . Под срывом слежения в системе ФАП второго порядка, таким образом, будем понимать первый выход случайной точки за границу .

Уравнения (34) определяют двумерный марковский процесс с коэффициентами сноса и диффузии

(27.35)

Из (36) следует, что условие (9) выполняется только части границы при . На другой части границы, при , матрица диффузии вырождается. При и справедливо условие (10), поэтому регулярная часть границы в данном случае имеет вид

Вероятность срыва слежения при условии, что в начальный момент времени система находилась в состоянии , удовлетворяет уравнению

Уравнение (37) следует решать при начальном условии (2) и граничных условиях

Моменты распределения времени до срыва слежения в системе ФАП с интегрирующим фильтром могут быть найдены из решения уравнения

с граничными условиями

(27.40)

После того, как найдены решения уравнений (37), (39) и в зависимости от произвольного начального состояния , можно найти их усредненные по случайному начальному состоянию значения (см. § 28).