3. Энергетические спектры марковских сообщений

Рассмотрим стационарно работающий источник сообщений (сигналов), который может находиться в разных состояниях, соответствующих генерированию множества различных сообщений . Каждое из сообщений имеет фиксированную длительность , т. е. вне полуинтервала сообщение тождественно равно нулю. Состояния источника могут меняться только через интервал времени , т. е. в моменты времени (рис. 3.1), где — целое положительное число, — случайная величина, равномерно распределенная в интервале .

Полагаем, что последовательность состояний источника описывается простой стационарной цепью Маркова с абсолютными вероятностями стационарных состояний и матрицей одношаговых вероятностей перехода

Здесь — вероятность посылки сообщения , если предыдущим было сообщение .

Временные реализации сообщений, излучаемых источником, можно записать в виде (рис. 3.1)

где

Рис. 3.1. Характер возможных реализаций сообщений.

В каждой временной реализации на любом полуинтервале может быть лишь одним из возможных сообщений .

Вычислим сначала корреляционную функцию случайного процесса . Вследствие стационарности рассматриваемой цепи Маркова корреляционную функцию можно определить выражением

где — двумерная плотность вероятности процесса .

Интересующую нас двумерную плотность вероятности всегда можно представить в виде

где — условная двумерная плотность вероятности случайного процесса при фиксированном значении сдвига .

Формулы (4) и (5) позволяют написать следующее выражение для корреляционной функции

Здесь внутренние угловые скобки означают осреднение с двумерной условной плотностью вероятности , а внешние скобки - осреднение по случайной величине с плотностью вероятности .

Пусть . Из рассмотрения рис. 3.1 можно прийти к заключению, что

Здесь — число точек разрешенного перехода на отрезке — условная вероятность появления -гo элементарного сообщения, если после -го сообщения было разрешенных моментов перехода.

В результате подстановки выражения (7) в (6) имеем

так как

где — целая часть числа , то выражение (8) можно конкретизировать

Несколько упростим запись этого выражения. С этой целью введем обозначение

Здесь последнее равенство написано с учетом того, что элементарные сообщения и тождественно равны нулю вне полуинтервала . Функцию иногда условно называют взаимокорреляционной функцией элементарных сообщений.

Укажем два свойства взаимокорреляционной функции , которые будут использованы в дальнейшем и легко доказываются,

Интегралы, входящие в формулу (10), можно выразить через . Напомним, что элементарные сообщения и тождественно равны нулю, когда аргументы и находятся вне интервала . Поэтому первый интеграл в правой части формулы (10) может быть отличным от нуля только для тех значений , для которых совместно выполняются неравенства и . Записываем условие совместного выполнения этих неравенств: . С учетом этого и последующей замены переменной согласно равенству можем последовательно написать

Здесь при записи последнего равенства использовано первое свойство взаимокорреляционной функции (12). Аналогичным путем получим

Из выражения (10) с учетом равенств (13) и (14), а также свойства четности корреляционной функции стационарного процесса получаем окончательную формулу

Если, например, взаимокорреляционная функция элементарных сообщений имеет вид, изображенный на рис. 3.2,а, то графики функций и при показаны соответственно на рис. 3.2, б и в.

Перейдем теперь к вычислению энергетического спектра случайного сообщения . Согласно формуле Винера — Хинчина можем написать

Рис. 3.2. Xaрактер изменений взаимокорелляционных функций при .

Распишем интеграл справа

Введем новую переменную интегрирования . Тогда

Подставим сюда выражение из (15) и учтем, что

Тогда на основании (16) можем написать

Запишем это выражение иначе. Во втором интеграле справа сделаем замену переменной интегрирования . Тогда

Затем выделим слагаемое, соответствующее , и учтем, что . Кроме этого, из первого свойства (12) следует соотношение

С учетом этого выражение (18) примет вид

Для упрощения записи этой формулы введем спектральную функцию -го элементарного сообщения

Покажем, что

Здесь — величина, комплексно-сопряженная с . Подставив в левую часть равенства (21) выражение (11) и изменив порядок интегрирования, можем написать

Элементарное сообщение может быть отлично от нуля только в интервале , т. е. при . Поэтому

Заменив переменную интегрирования на , получим

Следовательно,

С учетом соотношения (21) из (19) получаем окончательную формулу для энергетического спектра случайного сообщения :

Формулы (15) и (22) позволяют вычислить корреляционную функцию и энергетический спектр случайных сообщений, генерируемых источником с марковским характером смены состояний. Однако часто формулы (15) и (22) записывают в другой форме, где в явном виде выделена периодическая составляющая, а - соответствующая ей линейчатая часть спектра.

Запишем элементарные сообщения в виде суммы двух слагаемых

Здесь

— детерминированная составляющая элементарных сообщений, равная нулю вне интервала , — случайная переменная составляющая -гo элементарного сообщения. Для пояснения на рис. 3.3 для трех равновероятных элементарных сообщений , показаны и .

Реализации сообщений, генерируемых источником, теперь можно записать в виде

Здесь образуется из случайных переменных составляющих элементарных сообщений таким же образом, как и в выражении (2) из .

Аналогично из формируется , представляя собой периодическую составляющую сообщения со случайным началом отсчета времени.

С учетом (25) выражение (4) для корреляционной функции принимает вид

так как

Выражение для первого слагаемого в правой части (26) дается формулой (15), нужно лишь заменить на :

Рис. 3.3. Графики элементарных сообщений для .

Выражение для второго слагаемого в (26) также дается формулой (15) с заменой на :

Применительно к введенным обозначениям для детерминированной составляющей в формуле (15) нужно положить и при . При этом получим

Итак, корреляционная функция сообщений, генерируемых марковским источником, определяется формулой

Здесь первое слагаемое справа представляет собой периодическую составляющую корреляционной функции.

Окончательное выражение для энергетического спектра сообщений марковского источника имеет вид

где

В формуле (31) первое слагаемое соответствует первому слагаемому в (30) и представляет линейчатую часть энергетического спектра. Это слагаемое получается из общей формулы для энергетического спектра (22), если учесть, что для детерминированной составляющей сообщения в (22) нужно положить . При этом получим

Воспользуемся известным разложением в ряд Фурье периодической последовательности дельта-функции [37]:

Подставив это соотношение в предыдущее выражение, придем к нужному результату. Отметим, что линейчатые составляющие спектра будут отсутствовать, если , т. е. при выполнении равенства

Второе слагаемое в правой части (31) получается из (22) простой заменой на .

Таким образом, интересующие нас выражения для корреляционной функции и энергетического спектра сообщений, генерируемых марковским источником, даются соответственно формулами (30) и (31).

Рассмотрим два частных примера [20].

Пример 1. Биполярные равновероятные сообщения. Пусть источник генерирует сообщения, удовлетворяющие следующим трем условиям:

1. Для каждого сообщения множества имеется принадлежащее этому множеству сообщение — .

2. Стационарные вероятности сообщения и сообщения — равны друг другу .

3. Для одношаговых вероятностей перехода выполняется соотношение , где и .

Энергетический спектр сообщений такого источника не содержит дискретных линий и вообще не зависит от вероятностей перехода. Он определяется формулой

т. е. равен взвешенной сумме элементарных сообщений.

Для данного примера первое слагаемое в формуле (31) равно нулю, так как выполняется равенство (35):

Поэтому энергетический спектр не содержит дискретньгслиний, и в формуле (31) применительно к нашему примеру вместо можно писать просто .

Покажем, что третье слагаемое в формуле (31) также равно нулю. Для сокращения записей введем обозначения вида

Используя второе и третье условия, можем последовательно написать

так как можно показать, что

С учетом написанных равенств (37) и (38) из формулы (31) получаем требуемый результат (36).

Пример 2. Чисто случайные сообщения. Пусть механизм генерации сообщений источником характеризуется тем, что сообщение, генерируемое в данном интервале времени длительностью Т, не зависит от того, какими были сообщения в предыдущие интервалы времени Т, т. е. для вероятностей перехода справедливо соотношение

В данном случае матрица вероятностей перехода имеет вид

Для такой матрицы выполняется равенство для всех .

По формуле (22) находим энергетический спектр рассматриваемых сообщений:

Здесь при записи последнего сомножителя было использовано соотношение (31). В результате дальнейших преобразований получим

Выделив во втором слагаемом член, соответствующий и объединив его о первым слагаемым, получим окончательную формулу

В частном случае при и эта формула упрощается

Если в дополнение к указанным условиям и , то формула (41) переходит в (36), и спектр сообщений оказывается сплошным.

Выполним конкретные вычисления по формуле (41) для следующего простого случая. Пусть имеется только два элементарных сообщения и . Такими сообщениями являются биполярные прямоугольные видеоимпульсы высотой и длительностью . В данном случае

Подставив эти выражения в (41) и выполнив простые преобразования, получим

где — энергия элементарного сообщения.

Так как при , то сумма содержит только один член, отличный от нуля, который соответствует . Но и поэтому

При дискретная линия на нулевой частоте отсутствует и энергетический спектр будет сплошным

Приведенные выше формулы позволяют вычислить корреляционные функции и энергетические спектры разнообразных сообщений марковского типа.