Два поглощающих экрана

Пусть частица, которая в первоначальный момент времени находилась в точке , движется на отрезке, ограниченном в точках оглощающими экранами (рис. 4.3). Это означает, что при попадании частицы в точку или движение .

Обозначим через вероятность того, что частица, в момент занимающая положение , в момент времени попадает в точку и при этом ни разу не попадает в точку . Таким образом,

Рис. 4.3. Дискретные случайные блуждания при наличии двух поглощающих экранов.

Поступая аналогично предыдущему для производящей функции вероятностей поглощения получаем разностное уравнение вида (15) с граничными условиями

Решение уравнения (15) с граничными условиями (34) имеет вид

Так как согласно (17) , то можно убедиться, что выражение (35) совпадает с (19) при . Следовательно, вероятность поглощения в точке за шагов также может быть найдена из (27) при .

Аналогичным путем из решения уравнения (15) с граничными условиями можно получить выражение для производящей функции вероятности достижения границы :

(4.36)

Раскладывая полученные выражения в ряд по , согласно (14) получаем интересующие нас вероятности и .

Например, полагая для простоты , согласно теореме 4 (см. Приложение 11) представим в виде разложения на элементарные дроби

где — корни знаменателя выражения (36)

Приведем используемые ниже соотношения

Первое равенство получается подстановкой (38) в (18), а второе - непосредственным дифференцированием (17).

Используя равенства (39), находим постоянные :

Таким образом, согласно (37) получим

Для вероятностей можно получить аналогичное выражение, которое совпадает с (40), если в нем заменить на и на .

Вероятность поглощения частицы на экранах или за произвольное время получается из (35), (36), если положить :

В частности, для получим

Чтобы завершить вероятностное описание рассматриваемого процесса случайных блужданий, можно определить вероятность того, что частица в момент времени находится в положении ни разу не достигнув поглощающих границ. Для этого введем производящую функцию вида

и аналогично (15) для нее получим уравнение

Граничные условия для уравнения (44) имеют вид

В отличие от (15) разностное уравнение (44) является неоднородным и его решение можно получить довольно громоздким методом вариации постоянных (см. также пример 3 §9).