25.2. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПО КРИТЕРИЮ ТОЧНОСТИ СОЗВЕЗДИЯ НИСЗ

Рассмотрим способ получения обобщенных градиентов. Для исключения из обработки мешающего параметра образуем разностно-дальномерные градиенты:

где — чисто дальномерный градиент одного из квазидальномерных результатов измерений по одному из НИСЗ, принимаемому за ведущий; — дальномерные градиенты измерений по остальным ведомым НИСЗ. Обозначи через соответствующие погрешности измерений квазидальностей, полагаемые гауссовскими некоррелированными случайными величинами. Эти погрешности будут складываться из погрешностей измерений квазидальностей и фазирования генераторов НИСЗ. Корреляционная матрица погрешностей разностных измерений имеет вид

Приводя к каноническому виду, можно представить матрицу виде суммы диад следующим образом: Здесь введенные ранее формально обобщенные градиенты, определяемые теперь так:

Разностно-дальномерные градиенты даются выражениями (25.10).

На рис. 25.1 показаны два НИСЗ и два дальномерных градиента , соответствующие производимым по ним измерениям. Модуль градиента разностно-дальномерного измерения Угол 9 между дальномерными градиентами определяется в зависимости от геоцентрического угла X разнесения

Рис. 25.1. Разностный градиент дальномерных измерений градиенты дальномерных измерений

НИСЗ и высоты потребителя (П) над земной поверхностью из следующего уравнения:

Выбор оптимального созвездия НИСЗ для П, находящегося на высоте эквивалентен такому выбору обобщенных градиентов, при котором корень из следа корреляционной матрицы погрешностей засечки достигает своего минимально возможного значения. Было показано, что При этом значения коэффициентов определяются через обобщенные градиенты

Итак, след корреляционной матрицы вектора погрешностей определяется выражением (25.9) через коэффициенты характеристического уравнения, определяемые зависимостями (25.12). При использовании квазидальномерных измерений обобщенные градиенты суть линейные комбинации (25.11) разностно-дальномерных градиентов с коэффициентами, являющимися компонентами собственных векторов корреляционной матрицы погрешностей разностно-дальномерных измерений.

Данное утверждение раскрывает общую структуру оценки точности навигационного определения, произведенного квазиметодом. При этом результат оказывается выраженным в простой и наглядной форме через обобщенные градиенты. В практических случаях более удобно использовать разностные градиенты вместо обобщенных.

Можно показать, что при определенных условиях при выборе оптимального созвездия критерий минимума следа можно заменить эквивалентом наиболее простого критерия. В частности, можно считать, что оптимизация выбора созвездия по минимуму эквивалентна условию максимизации объема призмы, построенной на обобщенных градиентах, или, что то же, объема призмы, построенной на разностных градиентах

Чтобы сделать результат очевидным, заметим, что для потенциально оптимального созвездия эллипсоид рассеивания должен быть осесимметричным Обозначив через его полуоси, запишем критерии следа и объема V так:

Отсюда при и следует справедливость приведенного утверждения:

Полученные результаты позволяют сделать важное заключение. Если единственным ограничением расположения НИСЗ является условие наблюдения, т. е. НИСЗ должны находиться в пределах области радионаблюдения с объекта то потенциально оптимальное созвездие будет выглядеть следующим образом: один НИСЗ — в зените П, а три других равномерно распределены по границе конуса радиовидимости. Справедливость сказанного вытекает из того очевидного факта, что максимальный объем пирамиды, построенной на разностных градиентах, будет у правильной пирамиды, вписанной в сферический сегмент сферы радиовидимости П.

Потенциальная точность созвездия определится следующим образом. Обобщенные градиенты оказываются в этом случае взаимно ортогональными, их модули соответственно:

причем направлен по местной вертикали, лежат в плоскости горизонта.

В этом случае полуоси корреляционного эллипсоида определяются особенно просто — они обратны

где 9 — зенитный угол периферического НИСЗ, выражаемый через аналогичный геоцентрический угол радиус орбиты и радиус Земли

Полученный результат характеризует, очевидно, потенциальную точность навигационного определения.

Сравнение критериев выбора рабочего созвездия по минимуму следа корреляционной матрицы и максимуму определителя. Полной точностной характеристикой выбранного созвездия служит корреляционный эллипсоид. Поэтому естественно рассмотреть трехмерное пространство, координаты которого будут соответствовать полуосям эллипсоида рассеяния. Постоянное значение критериальной функции задает в этом пространстве поверхность, на которой будут эквивалентными различные, созвездия, определяемые однозначно размерами полуосей соответствующих им эллипсоидов.

Пусть нормированные значения полуосей корреляционного эллипсоида, тогда критерий следа корреляционной матрицы будет изображаться в этом пространстве в виде сферы радиусом С другой стороны, критерий определителя матрицы системы нормальных уравнений или эквивалентный ему критерий модуля определителя системы условных уравнений можно представить в виде Для сопоставления этих критериев необходимо установить связь значений отвечающих им критериальных функций из соображения, что оба критерия точно эквивалентны на биссектрисах координатных октантов.

Рис. 25.2. Сравнение результатов применения критериев следа корреляционной матрицы и определителя для выбора рабочего созвездия

Расхождение их в других точках пространства эллипсоидов иллюстрируется рис. 25.2, где показаны сечения первых критериальных поверхностей, отвечающих различным значениям и сечения отвечающих этим же значениям вторых критериальных поверхностей V - плоскостью Рассмотрение этих зависимостей говорит о том, что для сильно вытянутых корреляционных эллипсоидов критерий определителя может давать результаты, заметно отличающиеся от результатов по критерию Следовательно, такой выбор приведет к заметному проигрышу в точности. Поэтому приближенная эквивалентность рассмотренных критериев имеет место при условии исключения сильно вытянутых корреляционных эллипсоидов, т. е. при выборе только хороших созвездий, что обычно и имеет место на практике.