2.3. ГРАДИЕНТЫ ПОЛЕЙ НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ

При анализе точностных свойств СРНС широко пользуются понятиями и выражениями градиентов НП. Напомним основы градиентного анализа. Навигационные параметры можно рассматривать как скалярные величины, поле которых

Рис. 2.2. Основной векторный треугольник

Рис. 2.3. Связь между градиентом и производной по направлению

распределено в пространстве, окружающем НИСЗ. Поверхностями уровней такого поля будут поверхности положения.

Параметры в пределах зоны видимости НИСЗ представляют собой непрерывные функции координат и имеют непрерывные первые производные, вследствие чего изменение поля НП можно описывать его градиентом.

Обозначив через длину нормали и через п° единичную нормаль к поверхности положения, направленные в сторону возрастания можно градиент НП представить в виде

С помощью градиентов можно определять значения производных от параметра по любому направлению. Так, если задано значение градиента и известен угол между нормалью к поверхности положения и направлением производная по которому отыскивается, то эта производная выразится в виде (рис. 2.3)

В частном случае для прямоугольной системы координат

где i, j, k - единичные векторы (орты), параллельные координатным осям, частные производные от НП по координатам. При этом модуль градиента

Можно получить следующие выражения для модулей градиентов поверхностей положения, соответствующих измерениям дальности и радиальной скорости

Если в выражении (2.5) перейти к конечным приращениям, то получим

Поэтому если градиент известен, то ошибка поверхности (линии) положения находится непосредственно из оценки погрешности измерения (которая получается без труда из оценки погрешности РНП). Выражение (2.7) свидетельствует о том, что для уменьшения погрешности местоопределения необходимо стремиться к увеличению градиента поля НП.

Полученное для дальномерного метода соотношение означает, что ошибка определения поверхности положения равна погрешности измерения: Кроме того, эта чисто геометрическая погрешность не зависит от удаления от НИСЗ.

Выражение для градиента радиально-скоростного метода показывает, что градиент пропорциональный оказывается максимальным при траверзных измерениях когда конус вырождается в плоскость, перпендикулярную вектору скорости Градиент уменьшается при уменьшении угла а, что имеет место при стремлении к предельным удалениям до НИСЗ. В пределе при градиент

Градиенты облегчают анализ точностных свойств радионавигационных систем, так как позволяют переходить из пространства измеряемых параметров в пространство определяемых координат. В СРНС в отличие от наземных РНС (где РНТ неподвижны) стремятся геометрическое смещение определяемого места выражать не только через погрешность измерения навигационного параметра, но и через погрешность эфемериды. Прием этот состоит в следующем.

Из векторного треугольника на рис. 2.2 следует, что «истинное» (или расчетное) значение измеряемого параметра можно выразить через векторы дающие соответственно положения НИСЗ и П, в виде Если же смещение вектора НИСЗ, то измеренное значение выражается чёрез это смещение, а также через результирующее смещение места П как откуда разность измеренного и расчетного значений этом выражении правая часть представляет собой ошибку фиксации геометрического положения П, тогда как левая часть является погрешностью измерений. По структуре этого выражения левую и правую части должен связывать коэффициент в виде градиента. Поскольку построение на рис. 2.2 относится к дальномерному методу, этот коэффициент оказался равным единице. Однако, записав для общности последнее выражение с учетом градиента, будем иметь

Удобнее пользоваться соотношением, где градиент выражен через единичные векторы (орты), совпадающие с направлениями Учтем, что орт в направлении совпадает с единичной нормалью п° сферической поверхности, вследствие чего Наряду с этим очевидно, что вектор направлен по местной вертикали а это позволяет записать соответствующий орт: В направлении геоцентрического вектора орт выражается, естественно как . Используя сказанное, можно после некоторых преобразований прийтй к следующему выражению:

где