14.2. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ НАВИГАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ПО ИЗБЫТОЧНОМУ ОБЪЕМУ ОДНОВРЕМЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Среди статистических методов обработки выборки измерений избыточного объема наиболее распространены способы, в основе которых лежит метод наименьших квадратов (см. § 3.2). При соответствующем выборе матрицы весовых коэффициентов результаты, полученные этим методом, совпадают с результатами, полученными методом максимального правдоподобия или байесовскими методами [61, 116]. Рассмотрим некоторые из алгоритмов обработки дальномерных, разностно-дальномерных и квазидаль-номерных измерений избыточного объема.

Алгоритм определения координат П по выборке дальномерных измерений. Решение векторного уравнения (3.28) методом наименьших квадратов можно представить в виде

где некоторая симметричная неотрицательно определенная матрица весовых коэффициентов; априорная оценка вектора

Вследствие линеаризации исходных уравнений (3.2) оценка по формуле (14.18) еще не дает наилучший по точности результат. Для устранения влияния погрешности линеаризации на точность навигационных определений организуется итерационный процесс, построенный, как правило, по схеме Ньютона.

Если погрешности измерений распределены по многомерному гауссовскому закону с матрицей моментов второго порядка то вектор оцениваемых параметров является случайным, распределенным по многомерному гауссовскому закону с корреляционной матрицей

При сделанных предположениях вектор оцениваемых параметров имеет наименьшую дисперсию и совпадает с оценкой по критерию максимального правдоподобия, если положить [61]:

а также

Если при обработке результатов навигационных измерений учитываются погрешности априорной оценки вектора состояния П и эти ошибки не коррелированы с шумами измерений, то уравнения (14.18), (14.19) можно представить в виде

где корреляционная матрица погрешностей априорной оценки вектора состояния Если то вектор оцениваемый по формуле (14.21), совпадает с оценкой по критерию максимума апостериорной плотности вероятностей [61] и

На практике корреляционная матрица погрешностей навигационных измерений известна лишь частично, поэтому как при разработке алгоритма оценивания вектора так и при оценке точности навигационных определений приходится принимать ту или иную гипотезу о матрице . В зависимости от принятой гипотезы погрешности оцениваемых параметров меняются в значительных пределах.

На структуру конкретных алгоритмов обработки измерений избыточного объема существенно влияет соотношение между весовой матрицей и корреляционной матрицей погрешностей измерения РНП.

Рассмотрим ряд алгоритмов, различающихся соотношением этих матриц. В общем случае корреляционная матрица погрешностей измерения дальностей по имеет вид

где среднеквадратическая погрешность измерения дальности до — коэффициент корреляции погрешностей измерения дальностей до

Эта матрица учитывает следующие погрешности [101]: независимые, если при коррелированные, если при и систематические, если при любых

Корреляционные матрицы погрешностей второго и третьего вида можно представить в форме где матрица размером Для систематической ошибки Представим матрицу в виде суммы матриц

где диагональная матрица независимых погрешностей измерений дальностей. Пусть известна и при обработке измерений используется матрица тогда в соответствии с (14.23)

Используя дважды тождество для обращения суммы матриц [61, 1011, представим

где единичная матрицы размером

В (14.25) первое слагаемое характеризует влияние независимых погрешностей измерений на точность навигационных определений, второе — влияние коррелированных погрешностей.

Предположим, что погрешности измерения дальности имеют только две составляющие: независимую при и систематическую при любых Независимые погрешности имеют дисперсию а систематические — При этом (14.21) примет вид

где — измеренное и вычисленное значения дальности до

где

Часто даже при известной матрице моментов второго порядка обработка измерений выполняется с применением другой упрощенной матрицы, что делается, например, для уменьшения объема вычислений. Обычно предполагают, что матрица диагональная. Пусть обработка результатов измерений производится с учетом только независимых погрешностей тогда выражения (14.21), (14.22) примут вид

Если положить, как и в предыдущем случае, что погрешности измерений имеют только две составляющие — независимую и

тематическую, то выражение (14.27) преобразуется в (14.26) при

Алгоритм определения координат П по выборке разностно-дальномерных измерений. Система уравнений (3.5) для разностно-дальномерных измерений может быть представлена в виде линейного преобразования невязок дальностей (или квазидальностей) где С — матрица наблюдения для дальномерного метода навигационных определений; В — матрица размером каждая строка которой содержит одну +1 и одну —1, остальные элементы равны нулю. Вектор и корреляционная матрица К, погрешностей оценивания координат П разностно-дальномерным методом определяются по формулам

где

Рассмотрим два алгоритма, различающиеся соотношением матриц весовых коэффициентов и погрешностей измерений.

Представляя в виде суммы двух слагаемых (14.24), получаем выражение для матриц моментов второго порядка разностно-дальномерных измерений где первое слагаемое определяет корреляционную матрицу погрешностей измерения разности дальностей, обусловленную независимыми погрешностями измерения дальностей, второе — коррелированными.

Пусть полностью известна и тогда выражение (14.25) принимает вид

где

Отличие (14.29) от соответствующей формулы для дальномерного метода навигационных определений (14.25) заключается в замене сомножителя на Нетрудно показать, что для

имеет место соотношение

При если корреляционная матрица погрешностей навигационных измерений известна и обработка результатов измерений производится с учетом этой матрицы, то при достаточно большом числе измерений точности оценивания координат места объекта разностно-дальномерным и дальномерным методами совпадают.

При учете независимой при и систематической при любых составляющих погрешности измерения дальности корреляционная матрица для разностно-дальномерной обработки (14.29) преобразуется к виду

Ее слагаемые в свою очередь приобретают вид

Если систематические погрешности имеют одинаковые значения и знаки, то При обработке результатов измерений без учета систематических погрешностей корреляционная матрица К, вычисляется по формуле (14.30),

Алгоритмы определения координат П по выборке квазидальномерных измерений. Пусть по результатам измерения

квазидальностей до оцениваются пространственные координаты объекта и постоянная обусловленная отсутствием синхронизации генераторов П и НИСЗ. При обработке измерений с учетом независимых при и систематических при любых составляющих погрешностей измерения квазидальностей алгоритм решения задачи принимает вид

а корреляционная матрица погрешностей навигационных определений

где

При обработке результатов измерений с учетом только независимых составляющих вычисляется по формуле

а матрица — по выражению (14.31), где

О возможности построения обобщенного алгоритма. Сравним выражение для корреляционной матрицы погрешности оценки координат К, квазидальномерным методом с аналогичными выражениями (14.26) и (14.30) для дальномерного и разностно-дальномерного методов навигационных определений. Подставим в (14.31) выражения для в виде

где корреляционная матрица погрешностей априорной оценки координат; дисперсия априорной оценки значения разности фаз генераторов и выделим блок характеризующий погрешности оценки только координат x,y,z:

Первое слагаемое в (14.33) учитывает влияние независимых погрешностей измерения РНП на точность определения координат

а второе — влияние систематических погрешностей, причем

Как следует из (14.33), точность определения координат объекта квазидальномерным методом зависит от погрешности априорного знания расхождения фаз генераторов объекта и при известном расхождении фаз генераторов выражение для квазидальномерного метода совпадает с аналогичным выражением (14.26) для дальномерного метода, а при неизвестном расхождении совпадает с выражением

(14.30) для разностно-дальномерного метода. Проведенный сравнительный анализ показал возможность синтезировать обобщенные алгоритмы как местоопределения, так и оценки точности навигационных определений.