15.2. СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ РАСХОДИМОСТИ ФИЛЬТРОВ КАЛМАНА

Рекуррентные методы фильтрации первоначально были разработаны для линейных систем, динамическая модель и статистические характеристики возмущений которых предполагались полностью известными. В такой постановке по мере увеличения числа обрабатываемых измерений рекуррентные фильтры обеспечивают все более высокую точность оценивания искомых параметров. Однако в реальных условиях при обработке дополнительных измерений фактические ошибки могут возрастать. Возможность такого неустойчивого (расходящегося) поведения фильтров при решении конкретных задач отмечалась в ряде работ [27, 34, 39,

50, 57, 88]. Можно заключить, что основными причинами расходимости являются: неточность математических моделей канала измерения и динамики П; неточность априорных статистических данных; погрешности вычислений на ЭВМ.

Разработка рекуррентных алгоритмов должна сопровождаться анализом условий, при которых обеспечивается сходимость фильтров, и при необходимости изысканием путей расширения области сходимости.

Методы устранения расходимости фильтров можно разделить на адаптивные и неадаптивные. Адаптивные методы обработки предусматривают оценку кроме вектора состояния П некоторых дополнительных параметров, компенсирующих влияние неточностей математических моделей и статистических данных [87, 102, 107]. Неадаптивные методы используют только априорную информацию и сводятся к различным модификациям структуры фильтров, позволяющим поддержать его коэффициент усиления на фиксированном уровне и тем самым обеспечить устойчивую работу.

Остановимся на некоторых способах предотвращения расходимости, представляющих наибольший интерес.

Одной из наиболее часто встречающихся причин расходимости рекуррентных фильтров является неточность задания модели канала измерения, обусловленная погрешностями линеаризации. При погрешностях линеаризации, соизмеримых с погрешностями измерений, использование линеаризованных зависимостей модели канала приводит к резкому ухудшению качества работы фильтра. Нелинейность функции измерения приводит к смещению оценки и снижению точности вычисления корреляционной матрицы погрешности оценки. Это проявляется тем острее, чем точнее измерительное устройство. Для ослабления влияния нелинейности функции измерения на сходимость процесса навигационных определений предложено искусственно увеличить априорную дисперсию измерений [2,7]. которая определяется путем моделирования. Примеры решения конкретных задач показали целесообразность такого подхода [27, 50]. Другой подход состоит в вычислении по аналитическим формулам надлежащего увеличения дисперсии в функции от нелинейности измерений и корреляционной матрицы погрешности оценки. Фильтры, реализующие компенсацию смещения и увеличения дисперсии измерений, получили название гауссовских фильтров 2-го порядка [88]. Уравнения такого фильтра для решения навигационной задачи по результатам дальномерных измерений даны в § 15.3.

Наиболее простым методом, позволяющим компенсировать модельные ошибки динамики оказывается алгоритм компенсации шума состояния [102]. При использовании этого метода предполагается, что неучитываемые или неизвестные члены в уравнениях динамики П являются случайным процессом типа белого

шума. Метод косвенного учета погрешности модели, без повышения размерности фильтра [39], предусматривает введение членов, учитывающих влияние неоцениваемых параметров. Примером подобного фильтра может быть фильтр, представленный в § 15.1, для которого в уравнении (15.10) принимается Обработка измерений при этом производится с учетом погрешностей априорного знания вектора состояния НИСЗ.

Еще один вариант «практически нерасходящегося» фильтра Калмана предложен в [57]. Для компенсации расхождения между реальной системой и ее моделью в алгоритм вводится взвешивание корреляционной матрицы погрешности оценки по прогрессивно уменьшающемуся числу. «Практически нерасходящийся» фильтр отличается от обычного фильтра Калмана только множителем входящим в правую часть уравнения (15.8), которое принимает вид

Значение множителя выбирается либо эмпирически [57], либо автоматически [137].

Одной из проблем, связанной с использованием метода фильтрации Калмана, является потеря значащих разрядов при вычислении корреляционной матрицы погрешности оценки вектора состояния П. После ряда последовательных вычислений элементы матрицы становятся малыми и, как правило, матрица перестает быть положительно определенной. Методом, обеспечивающим переход после каждого шага рекуррентного процесса к неотрицательно определенной матрице, выступает обобщенный метод, связанный с операцией извлечения квадратного корня из матрицы [34]. Фильтрация по Калману в сочетании с этим методом позволяет в два раза сократить требуемое число разрядов цифровой вычислительной машины. Формула для нахождения коэффициента усиления фильтра (15.7) принимает при этом вид

где

Объем вычислений при этом возрастает, однако при матрице состояния высокого порядка и небольшом количестве одновременных измерений позволяет понизить требуемое машинное время и память ЭВМ по сравнению с расчетами по формулам обычного метода с удвоенной точностью.

Другая модификация фильтра Калмана [39] основана на предположении, что погрешности округления являются независимыми, не оказывают влияния на измерения и полностью учитываются выражением

где а — параметр, зависящий от разрядной сетки ЭВМ. При этом модификация фильтра сводится к добавлению в правой части уравнения (15.8) ковариационной матрицы

компенсирующей погрешности округления.