3.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ПОЛНОЙ ВЫБОРКЕ ИЗМЕРЕНИЙ

Рассмотрим основы статистической обработки полной выборки результатов измерений применительно к процедуре метода наименьших квадратов. Ради упрощения будем считать, что определяются всего три параметра — сферические координаты неподвижного П. Навигационные параметры, измеряемые по сигналам НИСЗ, обозначим их расчетные значения а общее число измерений Пространственное положение НИСЗ задается геоцентрическими координатами Координаты обозначим соответственно .

Общее выражение навигационной функции для измерений в момент имеет вид

Конкретное выражение определяется, естественно, видом например, для дальномерного метода измерений будет записываться в виде (2.2)

Если имеются результаты измерений: то может быть составлена система уравнений

в которой различные строки могут относиться как к измерениям по одному и тому же НИСЗ, но в разные моменты времени, так и к измерениям по различным НИСЗ (одновременным или разновременным).

Для линеаризации системы (3.2) в окрестностях расчетных значений определяемых параметров вычисляют значения либо с помощью априорной информации, либо с помощью решения каких-то трех совместных уравнений системы (3.2), что позволяет рассчитывать значения измеряемых параметров Тогда получается система уравнений для расчетных значений:

Разность измеренных и расчетных параметров можно выразить через поправки к приближенным значениям координат и далее обработку вести до получения наилучшей оценки этих поправок с использованием всей наличной измерительной информации. Тогда можно записать

Линеаризация проводится путем разложения системы уравнений (3.4) в ряд Тейлора по степеням поправок 6; с удержанием первых членов разложения. После этого получится следующая система уравнений:

Входящие в систему (3.5) частные производные функции по координатам, отвечающим приближенно известному месту, являются постоянными для сеанса измерений. Матрица частных производных имеет большое значение для оценки свойств методов навигации (см. § 2.4). Введем для этой матрицы размерностью следующее обозначение:

Воспользуемся далее понятиями градиентной и фундаментальной матриц (2.9) и (2.10) и для условий данного рассмотрения запишем

Заметим, что число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы что дает основание образовать произведение этих матриц. Выполнив матричное перемножение, убедимся, что полученная матрица и есть матрица (3.6) коэффициентов системы линейных уравнений (3.5). В этой матрице каждый элемент представляет собой трехчлен вида (2.8). К примеру элемент с индексами развертывается как

Итак, имеет место соотношение

Последние преобразования показали достаточную компактность записи. Именно поэтому в алгоритмах обработки измерительной информации в настоящее время широко употребляется матричный способ описания. Можно и всю систему уравнений (3.5) записать в виде компактного матричного соотношения.

Введем столбцовую матрицу А поправок к уточняемым координатам

а также матрицу-столбец из разностей измеренного и расчетного значений НП

Тогда в результате перемножения матриц С размерности размерности (3X1) можно получить матрицу-столбец размерности которая полностью совпадает с матрицей правых частей системы уравнений (3,5). В то же время по определению матрицей размерности описывается совокупность левых частей системы рассматриваемых уравнений. Поэтому система исходных линеаризованных уравнений представится в матричной записи как

Обратим внимание на то, что в системе (3.5) различные уравнения могут иметь неодинаковые размерности, поскольку разности могут соответствовать различным измерениям навигационных параметров, а среди однородных параметров найдутся неравноточные, относящиеся к измерениям по

различным НИСЗ. Ради придания системе (3.5) однородности целесообразно привести все разности к безразмерному виду. Для этого левые и правые части системы (3.5) домножаются на весовые коэффициенты, имеющие размерность, обратную размерности

где дисперсия погрешностей измерения НП, а некоторый масштабирующий коэффициент. В результате, учитывая обозначения (3.10), получаем безразмерную систему уравнений

которую именуют системой условных уравнений.

Если из весовых коэффициентов образовать диагональную матрицу

то выполненное домножение левых и правых частей системы уравнений на весовые коэффициенты можно представить как матричные операции умножения, приводящие к матричному виду системы условных уравнений:

Далее к системе условных уравнений применяют процедуру метода наименьших квадратов, основанную на следующих соображениях. Система (3.12) является системой уравнений с тремя неизвестными. Если только эти уравнений независимы, то какая-то совокупность трех поправок , не может удовлетворить этой системе и при подстановке , в соответствующие уравнения левые и правые их части окажутся неравными, появится невязка этих частей. Обозначив разницу (невязку) через получим новую запись

Ее матричным эквивалентом явится выражение

в котором использовано представление о совокупности невязок как матрице-столбце размерности

Важным обстоятельством является то, что невязки предполагаются случайными величинами. Метод наименьших квадратов позволяет найти такие наилучшие поправки к координатам при которых сумма квадратов невязок минимальна:

Сказанному можно дать геометрическое истолкование, которое сохраняет наглядность при малой мерности пространства определяемых параметров и малом числе измерений. Примем поэтому и выполним следующее построение (рис. 3.1).

В пространстве относительно точки с априорными координатами Но) построим ортогональный базис поправок оси которого параллельны соответственно осям и Тогда система трех линейных уравнений вида (3.5), отвечающих трем результатам измерений, формально-геометрически может интерпретироваться как совокупность трех прямых касательных к линиям положения в окрестности априорного места Но). Эти линии отстоят от начала координат на расстояния, равные разностям измеренных и расчетных значений параметров причем в случае безошибочных измерений все они пересекались бы в одной точке — истинном месте П. Влияние ошибок приводит к тому, что пересечениями этих прямых образуется треугольная область возможного нахождения объекта. Оптимизация решения, предусматриваемая методом наименьших квадратов, состоит в отыскании точки, наивыгоднейшим образом удаленной от всех трех касательных, чему соответствует минимальность суммы квадратов невязок Эта точка дает оценки искомым поправкам

Рис. 3.1. Геометрическое истолкование оптимизации по методу наименьших квадратов

Рис. 3.2. Ортогональное проектирование вектора в пространстве измерений

Геометрическое толкование выражений (3.14), (3.14) удобно дать в пространстве измерений. Для этого построим координатный базис в осях разностей Для рассматриваемого случая матрица (3.6), имея размерность (3X2), может распасться на два вектора

которые можно истолковать как своеобразные базисные векторы пространства частных производных заданные в пространстве измерений. Сориентировав по этим векторам произведения можно путем суммирования получить в данном базисе вектор матричного произведения В то же время в базисе вектор измерений фиксируется так, что разность дает вектор который в соответствии с (3.14) представляет собой вектор невязок. Можно показать, что вектор невязок будет ортогонален любому вектору из базисного подпространства параметров подпространства, заданного векторами Значит, при оптимизации методом наименьших квадратов проводится ортогональное проектирование вектора измерений на подпространство параметров. Дальнейшее разложение этой проекции по базисным осям пространства определяемых параметров дает оценки искомых поправок

Аналитически минимизация суммы квадратов невязок связана со следующими вычислениями. Условие (3.16) распадается на три условия:

Вычислим в соответствии с (3.17) значения частных производных функционала V по поправкам Дифференцирование V по первой поправке дает

откуда следует, что

Аналогично этому дифференцирование функционала V по поправкам и 63 дает выражения, подобные (3.18), с той разницей, что в повторяющемся в каждом члене сомножителе

производные будут браться соответственно по Совокупность всех полученных в результате дифференцирований выражений даст систему трех уравнений с тремя неизвестными Если коэффициенты при неизвестных обозначить через а коэффициенты при правых частях уравнений через то полученную систему, именуемую системой нормальных уравнений, можно записать в следующем виде:

где

Выражения (3.19) — (3.21) представляют собой принципиальный алгоритм обработки результатов измерений для определения поправок к априорно известным пространственным координатам Таким образом, при решении навигационных задач методом наименьших квадратов по существу решается система линейных нормальных уравнений (3.19), коэффициенты которой на первом итерационном цикле вычисляются по априорным данным, а коэффициенты на том же цикле — как по априорным сведениям, так и по результатам измерений. Начальными значениями координат для каждого последующего цикла принимают начальные значения предыдущего цикла, исправленные на величины оцененных поправок.

Для выражения коэффициентов и 64 в литературе часто применяется введенная Гауссом символика, избавляющая от необходимости пользоваться знаком суммирования по индексу числа измерений:

Коэффициенты системы нормальных уравнений используют при оценке точностных свойств навигационных методов. Как было отмечено в § 2.4, градиентная и фундаментальная матрицы отражают видовые и общие свойства методов измерений, а совокупность коэффициентов выражается как раз через элементы этих матриц (см. гл. 16).

Образуем матричное произведение двух матриц: и С (3.6), что для уточняемой системы координат дает

Проведем транспонирование полученного произведения в результате получим

Оказывается, что совокупность коэффициентов является ни чем иным, как произведением транспонированной матрицы (3.23) на исходную (3.22). Запишем это произведение в виде матрицы размерности (3X3):

Обозначим матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений через Тогда из сопоставления (3.20) и (3.24) следует матричное равенство

Заметим, что весовая матрица была определена как (3.13) ради придания системе условных уравнений безразмерных свойств. Но поскольку диагональная матрица, ее вид при транспонировании не меняется, а следовательно, произведение дает также диагональную матрицу элементы которой являются квадратами элементов матрицы

Ввиду этого

Обратившись к правым частям системы обнаружим, что их матрица получается в результате перемножения матриц размерности :

Обозначив матрицу правых частей через В, запишем очевидное равенство

Таким образом, система нормальных уравнений в матричном виде

или сокращенно

Полученная выше матрица коэффициентов имеет размерность (3X3), что связано с трехмерным характером решаемой навигационной задачи. В случае определения шестимерного вектора состояния П составляется система 6 нормальных уравнений и матрица А будет иметь размерность (6X6).

Вопросы решения системы нормальных уравнений, сходимости итерационных решений, а также особенности решений при использовании иных критериев оптимальности рассмотрены подробно в гл. 13 и 14. Здесь же уместно остановиться на том, как элементы матрицы А используются для оценки точности навигационных определений.

Упомянем, что один из способов решения системы (3.26) связан с обращением матрицы А. Дело в том, что, умножая левую и правую части системы (3.27) слева на обратную матрицу можно получить в явном виде решение для поправок:

Приняв для простоты число результатов измерений равным числу определяемых параметров будем иметь дело с квадратными матрицами и Тогда, применив правила обращения матриц к соотношению (3.25), увидим, что матрица выражается через обращенные матрицы Выясним, какой смысл имеет для чего вспомним, что матрица диагональная, а при обращении таких матриц их элементы переходят в обратные величины. Стало быть, элементы матрицы с точностью до коэффициента представляют собой дисперсии измерений частном случае равноточных измерений все диагональные элементы будут равны между собой и определятся дисперсией измерителя).

С другой стороны, матрица имеет смысл корреляционной матрицы погрешностей определения искомых параметров диагональные элементы которой суть дисперсии определяемых параметров.

Для наглядности сочтем, что определяемые параметры образуют ортогональный базис. Тогда результирующая погрешность пространственного местоопределения выразится через след корреляционной матрицы